3.4 生活中的优化问题举例优质课教学设计

生活中的优化问题举例

一、教学目标

1．知识和技能目标

（1）使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；

（2）提高将实际问题转化为数学问题的能力．

2．过程和方法目标

（1）培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力；

3．情感态度和价值观目标

(1)进一步培养学生应用数学的意识。

二、教学重点.难点

教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤

教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值

三、学情分析

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

四、教学方法

师生互动探究式教学

五、教学过程

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

1、与几何有关的最值问题；

2、与利润及其成本有关的最值问题；

3、与物理学有关的最值问题；

4、效率最值问题。

知识应用，深化理解

例1．海报版面尺寸的设计

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学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

解：设版心的高为xdm，则版心的宽为S(x)(x4)(128x2)1282x512x22128xdm,此时四周空白面积为

8,x0512x2512x。

，解得x16(x16求导数，得S于是宽为当x128x'(x)212816。令S'(x)20舍去）。

8。

<0；当x(16,)(0,16)时，S'(x)时，S'(x)>0. 因此，x8是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 0.8rr2分，其中

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（2）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

yfr0.2432r30.8r2r0.8r332,0r6

令fr0.8(r2r)0

解得

r2（r0舍去）

当r0,2时，时，时，frfrfr0；当r2,6时，fr0．

当半径r当半径r20它表示fr单调递增，即半径越大，利润越高；

f20

它表示r单调递减，即半径越大，利润越低．

2

（1）半径为2cm

时，利润最小，这时是负值．[来源:学科网]f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润

（2）半径为6cm时，利润最大．

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

有图像知：当r3yf(r)0.8(r3r)23时，f30，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润时，利润才为正值．

与饮料瓶的成本恰好相等；当r当r30,2时，fr0，fr为减函数，其实际意义为：瓶子的半o

径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm

时，利润最小．

例3．磁盘的最大存储量问题

【背景知识】：计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化R

23rr与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？

（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？

解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达Rrm[来源学§科§网]

。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即2rn每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量

f(r)Rrm×2rn2mnr(Rr)

（1）它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大．

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（2）为求f(r)的最大值，计算R2f(r)0．f(r)2mnR2r

令f(r)0，解得r

当rR2时，f(r)0；当rR2时，f(r)0．

因此rR2时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为2mnR42

六、课堂小结

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过在定义域内求函数的最值，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题

建立数学模型

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

七、当堂检测

作答

用导数解决数学问题

1.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积

S=2πRh+2πR

2 由V=πRh，得h令

s(R)2VR2

22VR2，则S(R)= 2πRVR2+ 2πR=2VR+2πR

2+4πR=0

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解得，R=3V2，从而h=VR2=(3VV2)2=34V=23V

即h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值

答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省

设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律。

八、课时练与测

一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？

【解】假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，

由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即y

＝150xx2，故有

×30＋x2×40，y′＝－4500x2＋20，

，f″(15)＞0，

令y′＝0，得x

＝15，且y″＝9000x3所以当x

＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，

故

当x

＝15时，y取得最小值，此时进货次数为15015＝10（次）．

即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．

作业：习题3.4A组1.5.6

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