阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用教学实录与评析

圆锥曲线的光学性质及其应用

浙江省新昌中学

孙颂佳

一、教学内容解析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》章后的一段阅读与思考材料，介绍了椭圆、双曲线、抛物线的光学性质以及它们在生活生产中的广泛应用。是圆锥曲线知识的进一步拓展，也是数学知识在实际生活中应用的典型案例。

《圆锥曲线的光学性质及其应用》是一份介绍性阅读材料，展现圆锥曲线的光学性质在天文、物理等其他学科技术领域中的重要地位，照本宣科只会使学生对其了解停留在表面，无法实现其潜在价值。教师应为学生创造有意义的学习经历，设置情境引导学生探究椭圆的光学性质，将其转化为一个数学问题进行证明，分享交流椭圆的光学性质在生活中的应用，归纳出研究圆锥曲线光学性质的一般套路，并独立完成双曲线光学性质的探究。

《圆锥曲线与方程》这一章贯穿的数学思想就是用代数方法研究几何问题，通过坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何性质问题和实际问题，感受数形结合的基本思想。本节课的重点是将圆锥曲线的光学性质转化为一个数学问题，并进行代数证明。通过师生交流、生生合作提出多角度的证明方法，进一步渗透并应用坐标法，完善学生的知识结构、深化数学思想方法。

二、教学目标设置

（1）通过黑洞和射电望远镜引出圆锥曲线的光学性质（数学抽象）；

（2）通过折纸初步认识椭圆的光学性质，并用几何画板进行验证（逻辑推理）；

（3）将椭圆的光学性质转化为一个数学问题，并进行数学证明（数学抽象、数学运算）；

（4）分享交流椭圆的光学性质在生活中的应用，体验数学与周围世界的关系；

（5）归纳椭圆光学性质的探究过程，建立数学模型，类比研究其他的圆锥曲线（数学建模）；

（6）利用圆锥曲线的光学性质解决一类数学问题，并进行创新设计的尝试，体会数学学习的实用价值。

三、学生学情分析

（1）学生已有的认知基础

本节课的授课对象是浙江省新昌中学高二年级的学生，对圆锥曲线及其简单几何性质经过系统的学习；基本掌握用代数法解决几何问题的基本思想；

具有一定的图形分析和代数推理能力；同时了解光的传播的反射知识，为本节课提供了充分的基础知识和思想方法准备。

（2）教学难点和突破策略

圆锥曲线的光学性质比较抽象，如何从实际情境中抽象出数学问题，并用恰当的数学语言进行表述是比较困难的。教师通过黑洞和射电望远镜，引导学生先对抛物线的光学性质有一个初步的了解，再从光的平面反射定理入手，将平面反射类比到曲面反射，并通过作图、折纸来探究椭圆的光学性质，在探究过程中，将问题转化为证明椭圆上任一点处的切线与这一点和椭圆两焦点连线所夹角相等。

高二学生对于夹角公式、角平分线性质定理并不是很熟悉，这为椭圆的光学性质的证明带来了一定的困难。教师通过问题串引导学生，要证角相等，联系三角函数的知识，转化为证正弦值、余弦值、正切值相等，并采用独立证明、交流汇报的方式展示思维过程，相互启发。

四、教学策略分析

本节课不是一堂传统的新课，采取“课前学生自主阅读材料；课中教师引导探究、各组展示学习成果；课后继续课上未完成的探究”这样一种研究性学习方式来进行。

（1）精心设置问题系列，自然驱动

明确本节课的基本任务和教学难点，构建富有层次的问题链，在学生最近发展区内部为其打造探索式问题，在课堂上引导学生完成“知识从何而来？知识是什么？知识往何而去”的学习过程。

（2）充分开展学生活动，自主探究

从学生已有认知出发，给学生提供课堂参与的机会，让学生在动手操作、观察比较、类比推理、交流合作中学习知识，形成能力，发展认识。

（3）适时提炼数学模型，自觉升华

本节课重点研究椭圆的光学性质及其应用，在探究过程中归纳出研究的一般“套路”：提出假设——计算机模拟验证——理论证明——实际应用。学生经历从实际问题中筛选出有用的信息和数据，研究其数量关系或数形关系，建立数学模型，进而解决实际问题的整个过程。

五、教学过程设计

（一）创设情境，提出问题

1.情境创设：借助黑洞的照片介绍射电望远镜的工作原理，让学生观察射电望远镜的形状，呈抛物面，引出抛物线的光学性质，进而展开学习内容——圆锥曲线的光学性质。

设计意图：从热点问题人类历史上首次拍摄到的黑洞图像引出，视频展示射电望远镜的工作原理，将生产生活和数学课堂连接起来，让学生感知：数学科学是不可分割的有机整体，它的生命力在于各部分之间的联系。

2.知识回顾：光的平面反射定律：反射光线与入射光线与法线在同一平面上；反射光线和入射光线分居在法线的两侧；反射角等于入射角

。

问题1：如果平面变曲面，还遵循反射定理吗？

问题2：如果遵循，反射平面、法线在什么位置？

问题3：不妨考虑特殊曲面——圆面，从圆心发出的光经圆面反射后怎样运动？此时的法线和反射平面是什么？

问题4：类推到椭圆面，光线从一个焦点射出，在点P处发生反射，反射平面在什么位置？

生：反射平面可以用椭圆在点P处的切线来表示，法线是过点P且垂直于切线的直线PA. 问题5：入射光线F1P，反射光线呢？

设计意图：设计问题串，引导学生回顾光的平面反射定律，自然引出光在曲面上的反射情况

，教授学生有逻辑地利用旧知学习新知，也为接下去探究反射光线的路径打下铺垫，凸显了数学知识的连续性和拓展性。

（二）活动设置，引导探究

学生活动1：在纸上作出椭圆的反射光线并展示。

学生1：因为入射角等于反射角，所以先用量角器量出入射角，那么先要作出法线，再做反射角，连线得到反射光线，观察得反射光线经过另一个焦点F2. 学生2：先过点P对折切线得到法线，再将入射光线沿着法线对折就得到了反射光线，观察得反射光线经过另一个焦点F2. 学生活动2：几何画板演示验证。

演示1：改变入射点P位置和椭圆大小，验证反射光线总是经过另一个焦点F2. 演示2：连接PF1和PF2，度量PF1和PF2和法线的夹角，验证两夹角相等，即反射光线总是经过另一个焦点F2. 设计意图：学生以具体形象思维为主，数学大多以抽象逻辑思维为主，要使学生能轻松厘清问题中数量关系，采用作图的方式帮助学生找到抽象和形象的支点，提高解决实际问题的能力。在整个探究过程中，学生经历发现性质，到计算机辅助验证性质，再到将椭圆的光学性质转化为一个数学问题，培养学生逻辑推理和数学抽象的能力。

（三）独思共议，理论证明

x2y2l为椭圆上一点P(x0,y0)处的切线，PA为过点P且已知椭圆221(ab0)，ab垂直于l的法线，交x轴于点A，证F1PAF2PA. 1.思路分析

问题1：如何证F1P，F2P与法线的夹角相等呢？

角通常会跟哪块知识是联系起来的？

学生：三角函数

问题2：证角相等，可以如何转化？

学生1：证正切值相等。正切值可以与斜率联系起来，

斜率是直线向上部分与x轴正半轴夹角的正弦值，可以将F1PA

表示为法线PA和直线PF1与x轴正半轴夹角的差，F2PA同理表示。

学生2：证正弦值相等。

在F1PA中，根据正弦定理有同理在F2PA中，有PF1sinPAF1F1AsinF1PA，变形得PF1F1AsinPAF1；

sinF1PAPF2sinPAF2F2AsinF2PA，变形得PF2F2AsinPAF2. sinF2PA因为sinPAF1sinPAF2，

所以要证sinF1PAsinF2PA，

只要证PF2F2APF1F1A——角平分线性质定理。

学生3：证余弦值相等。借助向量的夹角公式，F1PA可以表示成PF1和法线PA的方向向量n的夹角，F2PA同理表示。

问题3：这三种思路都涉及到法线方程，如何表示？切线方程如何表示？

学生4：类比圆的切线方程，得到椭圆在点P(x0,y0)处的切线方程：x0xy0y21，a2ba2y0法线与切线垂直，得到法线的点斜式方程：yy02(xx0). bx0设计意图：通过引导，学生提出多角度的证明方法，熟练运用向量、三角等工具，并结合化归、数形结合等思想，进一步渗透并应用坐标法，完善学生的知识结构、深化数学思想方法。

2.分组展示

三个小组分别从三个思路进行椭圆光学性质的证明，第四个小组归纳椭圆的探究过程，类比发现双曲线的光学性质，后推荐小组成员展示小组成果。

组1：夹角公式（余弦值）

证：记F1(c,0),F2(c,0)，则F1P(x0c,0),F2P(x0c,0)，

根据焦半径公式得F1Paex0,F2Paex0.

a2y0由法线方程得到法线PA的一个方向向量n(1,k)(1,2). bx0则cosF1P,nF1PnF1Pna；

=b2x02a2y02b2cx0n(aex0)bx02a2b2b2cx0n(aex0)bx02a2cx0n(aex0)x0

a(aex0)n(aex0)x0nx0cosF2P,na(aex0)n(aex0)x0F2PnF2Pnanx0=b2x02a2y02b2cx0n(aex0)bx02a2b2b2cx0n(aex0)bx02a2cx0n(aex0)x0

；

因为cosF1P,ncosF2P,n，

所以F1PAF2PA. 组2：角平分线性质定理（正弦值）

证：记F1Paex0,F2Paex0.

1(c,0),F2(c,0)，根据焦半径公式得Fa2y0法线方程为：yy02(xx0)，

bx0令y0，得到xe2x0，即PA与x轴的交点A(e2x0,0)，

所以F1Aex0+c,F2Acex0. 22cx0PF1aex0a3acx0a(cx0a2)aa则2；

F1Ae2x0+cc2cx0ca2c(cx0a2)cxc20acax0PF2aex0a3acx0a(a2cx0)aa22；

c2F2Ace2x0cacx0c(a2cx0)cc2x0aa

因为PF2F2APF1F1A，

所以F1PAF2PA. 组3：两角差的正切公式（正切值）

证：记F1(c,0),F2(c,0)，则kPF1根据两角差的正切公式得：

y0y0a2y0,kPF2,kPA2. x0cx0cbx0a2y0y0b2x0x0c

2ayy1200bx0x0ctanF1PAtan(PAF2PF1A)kPAkPF11kPAkPF1a2y0x0a2y0cb2x0y0c2x0y0a2y0cy0c=22222；

2222bx0bx0cay0bx0cabbtanF2PAtan(PAF1PF2A)kPAkPF21kPAkPF2a2y0y0b2x0x0c

a2y0y012bx0x0ca2y0x0a2y0cb2x0y0c2x0y0a2y0cy0c=2222222. bx0bx0ca2y02abbx0cb因为tanF1PAtanF2PA，

所以F1PAF2PA. 设计意图：本环节采用独立证明、相互启发、汇报交流的方式展示证明过程，培养学生独立思考、合作交流、反思质疑的能力。完成椭圆的光学性质的证明，需要一定的向量、三角等知识基础，也需要较强的运算能力。

3.

学生评价

在教师的引导下进行自评和互评，整理如下：

采用的工具

遇到的问题

优点和收获

补充

组1（余弦值）

向量的夹角工具

组2（正弦值）

距离公式

法线方向向量的表示

角平分线的性质定理

用向量连接几何和代数

利用平面几何的结论可以简化计算

锻炼计算能力

斜率不存在的情况要单独考虑

组3（正切值）

两角和的正切公式；ktan

运算繁琐

设计意图：通过学生自评和互评，比较方法的难易，完善证明的逻辑性和严谨性，不断积累数学活动的经验。

（四）分享交流，回归生活

学生1：电影放映机的聚光灯有一个反射镜，形状是旋转椭圆面，把光源放在椭圆的一个焦点，影片放于另一个焦点处，从焦点发出的光经过椭圆反射后汇聚到影片放置处，由于汇聚的光线比较强，所以投影到屏幕的图象就比较清晰。

学生2：椭球型的音乐厅，设计上应该也是应用了椭圆的光学性质。

教师:古希腊人确实修过椭球型的音乐厅，并试图把演奏台放在一个焦点处，设想在另

一个焦点处实现音效最佳，但最终放弃了，试想原因？

学生2：除了在另一个焦点处能够听到较大的声音外，其他地方声音都不大。

教师展示：医学上的体外碎石技术：将人的肾结石位于椭圆的一个焦点处，在另一个焦点处释放的高能冲击波；北京天坛回音壁：形状是个椭球型，东西两个配殿相距一两百米，如果一个人在东配殿墙后小声说话，站在西配殿后的人总能听得清清楚楚；历史上一个有名的岩洞监狱：犯人每次在岩洞最深处偷偷商讨逃跑计划，都会被发现，直到二战之后才知道这个岩洞是椭圆形的，俘虏和看守恰好位于两个焦点处。

设计意图：引导学生处理与数学相关的材料时，不能停留在材料表面，要能熟练利用书籍、电脑搜索各方面的知识。同时在分享交流中把数学与现实社会生活紧密联系起来，使学生

感受到数学来源于生活，并服务于生活，使学生了解数学价值。

（五）构建模型，触类旁通

第4组学生展示探究圆锥曲线光学性质的一般步骤：通过折纸初步认识椭圆的光学性质——利用几何画板进行验证——将实际问题转化为一个数学问题并证明——椭圆的光学性质在生活中的应用。

教师小结：提出假设——计算机模拟——理论证明——实际应用。

学生展示探究双曲线光学性质的结果：通过折纸合作图，从双曲线一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，如果反向延长，光线经过另一个焦点。

将双曲线光学性质的证明和应用留给学生课后完成，形成研究性学习报告。

设计意图：引导学生回顾整个探究过程，在阅读和思考中，从实际问题中筛选出有用的信息和数据，研究其数量关系或数形关系，建立数学模型，进而解决实际问题。

（六）回顾反思，归纳总结

结合所学知识和知识的探究过程谈谈本节课的收获？

从知识层面上，了解圆锥曲线的光学性质并加以证明。

从方法层面上，用代数法来研究几何问题。

从思想层面上，运用从特殊到一般、类比、数形结合、化归等方法，不断追求新旧知识点的联系，从而找到解题的思路。

从过程层面上，我们经历了圆锥曲线光学性质探究的一般步骤，提出假设——计算机模拟验证——理论证明——实际应用。

（七）阅读思考，课外提升

（1）完成双曲线、抛物线光学性质的证明，查找关于圆锥曲线光学性质的应用，形成研究性学习报告；

x2y21,

F1,F2分别是其左右焦点,

点Q(2,1), M是椭圆上一（2）已知椭圆C:259动点, 求MF1MQ的取值范围；

（3）思考：你能将圆锥曲线的光学性质进行组合设计出具有实用价值的作品吗？

设计意图：信息时代的今天，数学应用与创造的学习不应只限于课堂，必须向课外延伸，教师布置有深层次的思考题，引导学生课后再阅读再思考。