3.1.2 导数的概念教案和学案内容

冷水江市第二届中小学青年教师教学

竞赛教学片段设计表

填报学校：

冷水江市第六中学

组别: 高中组 科目:数学

教学片段标题：《导数的概念》

学情分析：

学生已较好地掌握了函数极限的知识，又刚刚学过曲线的切线、瞬时速度，并积累了大量的关于函数变化率的经验；另外，学生思维较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础．

导数概念建立在极限基础之上，超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度．

教学目标：

知识与技能目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法. 过程与方法目标：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．

情感、态度与价值观目标：

①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．

②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观．

教学重难点：

教学重点：导数的定义和用定义求导数的方法．

教学难点：对导数概念的理解．

教学过程：

（一）

引入新课

导数的提出要追溯到17世纪的欧洲，当时的欧洲正处于文艺复兴时期，社会和科学的发展迅速，涌入了一大批杰出的数学家。其中有突出贡献的有牛顿和莱布尼兹（下图）

播放任茜获得2016年奥运金牌的跳水视频

在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系ht4.9t26.5t10. 设计意图：1.注重数学文化渗透,通过介绍导数的历史背景及展示数学家图片，让学生感受到数学知识的形成有其历史价值，是数学家的智慧结晶； 2.立足教材，始终围绕高台跳水问题，选取2016年奥运冠军任茜的跳水视频作情境创设，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，发展直观想象的核心素养. （二）初步探索 v问题1 在时间段1秒到4秒里的平均速度是多少？ h(4)h(1)41问题2 在2秒的瞬时速度是多少？

（在时间段2秒到2+Δt秒里（在时间段2+Δt秒到2秒里）当Δt趋于0时的平均速度）

h(2t)h(2)lim-4.9t13.1t0t

研究发现：当Δt趋近于0时,即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1.为了表述方便，我们用 limh(2t)h(2)13.1t0t设计意图：1.问题1承前启后，既复习了上节课的内容平均变化率，又为问题表示

“当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋近于确定值-13.1”.

二的解决提供了有效手段；

2.问题2，从平均速度到瞬时速度，体现了有限思想向无限思想的转化，设置数学实验，突破了学生对无限思想的理解，通过对数量关系的抽象，发展了数学抽象的核心素养，培养了学生用数学抽象的思维方式思考解决问题的能力. (三)深入探究: 问题3 一般地，在t=t0时刻的瞬时速度是多少？

问题4 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是多少？

设计意图：问题3，类比问题2，体现了特殊到一般的数学思想从事实和命题出发，依据规则推出其他命题，发展了逻辑推理的核心素养，帮助学生形成了重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神；问题4，问题3的抽象化，把瞬时速度上升至瞬时变化率，体现了具体到抽象的数学思想，发展了数学抽象的核心素养，养成了一般性思考问题的习惯. （四）形成概念

一般地，函数fx在xx0

处的瞬时变化率limf(x0x)f(x0)ylim，x0xx0x''我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作：fx0

或y|xx0，

'即fx0limx0f(x0x)f(x0)ylim

xx0x关于导数的几点说明：（1）f(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同；f(x0)与x0的具体取值无关. （2）瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称. （3）导数是研究在点x0处及其附近函数的改变量y与自变量的改变量x 之比的极限，它是一个局部性的概念，若lim有导数，否则就没有导数，即lim数应是一个定数. y存在，则函数yf(x)在点x0处就x0xy存在表示是一个定数，函数f(x)在点x0处的导x0x

由导数的定义可知, 求函数yf(x)的导数的一般方法: (1)

求函数的改变量ff(x0x)f(x0)；

ff(x0x)f(x0)；

xxfx0）lim(3)

求值f（. x0x(2)

求平均变化率（五）例题分析

例题：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和C）加热. 如果第xh时, 原油的温度（单位：为

yf(x)x27x15(0x8) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 设计意图：以原油问题为例，贴近生活，即强化了概念的应用与认知，又让学生体会到数学是源于现实，用于现实，又高于现实的存在。