2.1.4 平面与平面之间的位置关系全国优秀课堂实录

直线与平面、平面与平面平行的判定

[核心必知] 1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P54～P57，回答下列问题．

(1)我们知道门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时(未被关闭)，此时门扇转动的一边与门框所在的平面有怎样的关系？为什么？

提示：平行．因为门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点．

(2)三角板或课本的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板或课本所在平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？

提示：通过试验得出不一定平行．当三角板的两条边所在直线分别与桌面平行时，这个三角板所在平面与桌面平行．

2．归纳总结，核心必记

(1)直线与平面平行的判定

定理

文字语言

符号语言

图形语言

(2)平面与平面平行的判定定理

定理

文字语言

符号语言

图形语言

[问题思考] (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？

提示：根据直线与平面平行的判定定理可知直线与该平面平行或直线在平面内．

(2)分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？

提示：分别位于两个平行平面内的直线一定无公共点，故它们的位置关系是平行或异面．

[课前反思]

通过以上预习，必须掌握的几个知识点．

(1)直线与平面平行的判定定理是什么？

1 直线与平面平行的判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行

l∥a，a⊂α，l⊄α⇒l∥α

平面与平面平行的判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α⇒α∥β

；

(2)平面与平面平行的判定定理是什么？

.

观察下面图形：

门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面(墙面)存在不变的位置关系．

[思考1] 上述问题中存在的不变的位置关系是指什么？

提示：平行．

[思考2] 若判断直线与平面平行，由上述问题你能得出一种方法吗？

提示：可以，只需在平面内找一条与平面外直线平行的直线即可．

[思考3] 怎样理解直线与平面平行的判定定理？

名师点津：(1)判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：

①直线a在平面α外，即a⊄α；

②直线b在平面α内，即b⊂α；

③两直线a、b平行，即a∥b. 这三个条件缺一不可．

(2)体现了转化思想：

此定理将证明线面平行的问题转化为证明线线平行．

(3)此定理可简记为：线线平行⇒线面平行．

2

讲一讲

1．(2016· 临沂高一检测)如图，S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，AMDNBD上的点，且＝.求证：MN∥平面SBC. SMNB[尝试解答]

连接AN并延长，交BC于P，连接SP，因为AD∥BC，所以＝，

又因为＝，所以＝，

所以MN∥SP，

又MN⊄平面SBC，SP⊂平面SBC，

所以MN∥平面SBC.

1．判断或证明线面平行的方法

(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)；

(2)判定定理法：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α；

(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．

2．证明线线平行的方法

(1)利用三角形、梯形中位线的性质；

(2)利用平行四边形的性质；

(3)利用平行线分线段成比例定理．

练一练

1．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明：DNANNBNPAMDNSMNBAMANSMNPEF∥平面PAD.

3

证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD.∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD.

观察下面的两个图：

[思考1] 若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？

提示：不一定，也可能相交．

[思考2] 若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？

提示：不一定，也可能相交．

[思考3] 怎样理解平面与平面平行的判定定理？

名师指津：(1)判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：

①平面β内两条相交直线a、b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P. ②两条相交直线a、b都与平面β平行，即a∥β，b∥β. (2)体现了转化思想：

此定理将证明面面平行的问题转化为证明线面平行．

(3)此定理可简记为：线面平行⇒面面平行．

讲一讲

2．如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG. [尝试解答] (1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.

4

又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，

所以B，C，H，G四点共面．

(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC. 因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

所以EF∥平面BCHG. 因为A1G∥EB，A1G＝EB，

所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.

判定面面平行的常用方法

(1)定义法：两个平面没有公共点；

(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；

(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；

(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

练一练

2．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝O，求证：平面AGO∥平面D1EF. 证明：设EF∩BD＝H，连接D1H，在△DD1H中，

DO2DG因为＝＝，所以GO∥D1H，

DH3DD1又GO⊄平面D1EF，D1H⊂平面D1EF，

所以GO∥平面D1EF. 在△BAO中，因为BE＝EA，BH＝HO，

所以EH∥AO，

又AO⊄平面D1EF，EH⊂平面D1EF，

5

所以AO∥平面D1EF，

又GO∩AO＝O，所以平面AGO∥平面D1EF.

—————————[课堂归纳·感悟提升]——————————

1．本节课的重点是能应用直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理判断或证明线面平行，面面平行，理解两个定理的含义，并会应用．难点是运用两个定理解题．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)判断或证明直线与平面平行的方法，见讲1. (2)判断面面平行的常用方法，见讲2. 3．本节课的易错点是运用定理判断或证明平行时条件罗列不全而致错，如讲1，讲2.

课下能力提升(十) [学业水平达标练]

题组1 直线与平面平行的判定

1．能保证直线a与平面α平行的条件是(

) A．b⊂α，a∥b

B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c

C．b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，且AC∥BD

D．a⊄α，b⊂α，a∥b

解析：选D 由线面平行的判定定理可知，D正确．

2．如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是(

) A．相交 B．b∥α

C．b⊂α D．b∥α或b⊂α

解析：选D 由a∥b，且a∥α，知b与α平行或b⊂α. 3．如图，在四面体ABCD中，若M、N、P分别为线段AB、BC、CD的中点，则直线BD与平面MNP的位置关系为

(

)

A．平行

B．可能相交

6

C．相交或BD⊂平面MNP

D．以上都不对

解析：选A 因为N、P分别为线段BC、CD的中点，所以NP∥BD，又BD⊄平面MNP，NP⊂平面MNP，所以BD∥平面MNP. 4．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是________．

解析：如图所示，连接BD交AC于点O.在正方体中容易得到点O为BD的中点．又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1.又因为OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE. 答案：平行

5．直三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.

证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．

又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF. 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，

所以BC1∥平面A1CD. 题组2 平面与平面平行的判定

6．已知三个平面α，β，γ，一条直线l，要得到α∥β，必须满足下列条件中的(

) A．l∥α，l∥β，且l∥γ

B．l⊂γ，且l∥α，l∥β

C．α∥γ，且β∥γ D．l与α，β所成的角相等

解析：选C ⇒α∥β. 7．能够判断两个平面α，β平行的条件是(

) A．平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行

B．夹在两个平面间的线段相等

C．平面α内的无数条直线与平面β无公共点

D．平面α内的所有的点到平面β的距离都相等

解析：选D 平面α内的所有的点到平面β的距离都相等说明平面α、β无公共点．

α∥γ⇒α与γ无公共点⇒α与β无公共点

β∥γ⇒β与γ无公共点

7

8．如图，三棱锥P­ABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．证明：平面GFE∥平面PCB. 证明：因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，

所以EF∥BC，GF∥CP. 因为EF，GF⊄平面PCB，BC，CP⊂面PCB. 所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB. 又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB.

9．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 证明如下：因为Q为CC1的中点，P为DD1的中点，所以QB∥PA. 而QB

⊄平面PAO，PA⊂平面PAO，

所以QB∥平面PAO. 连接DB，因为P，O分别为DD1，DB的中点，

所以PO为△DBD1的中位线，

所以D1B∥PO. 而D1B

⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，

所以D1B∥平面PAO. 又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.

[能力提升综合练] 1．(2016·郑州高一检测)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是(

) A．相交

B．平行

8

C．异面 D．相交或平行

解析：选B MC1⊂平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B. 2．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是

(

) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C 如图，面EFGH. 由线面平行的判定定理可知，BD∥平面EFGH，AC∥平3．(2016·郴州高一检测)已知直线a，b，平面α，β，下列命题正确的是(

) A．若a∥α，b∥a，则b∥α

B．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α

C．若α∥β，b∥α，则b∥β

D．若α∥β，a⊂α，则a∥β

解析：选D 若a∥α，b∥a，则b∥α或b⊂α，故A错误；由面面平行的判定定理知B错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或b⊂β，故C错误．故选D. 4．在正方体EFGH­E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是(

) A．平面E1FG1与平面EGH1

B．平面FHG1与平面F1H1G

C．平面F1H1H与平面FHE1

D．平面E1HG1与平面EH1G

解析：选A 如图易证E1G1∥平面EGH1，G1F∥平面EGH1. 又E1G1∩G1F＝G1，E1G1，G1F⊂平面E1FG1.所以平面E1FG1∥平面EGH1. 5．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：

①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥γ，b∥γ⇒a∥b；③c∥α，c∥β⇒α∥β；

④c∥α，a∥c⇒a∥α；⑤a∥γ，α∥γ⇒a∥α. 正确命题是________(填序号)．

解析：直线平行能传递，故①正确，②中，可能a与b异面或相交；③中α与β可能

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相交；④中可能a⊂α；⑤中，可能a⊂α，故正确命题是①. 答案：①

6．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，

①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF. 以上四个命题中，正确命题的序号是________．

解析：以ABCD为下底面还原正方体，如图．

则易判定四个命题都是正确的．

答案：①②③④

7．如图在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱AB，CC1，AA1，C1D1的中点．求证：平面CEM∥平面BFN.

证明：因为E，F，M，N分别为其所在各棱的中点，如图连接CD1，A1B，易知FN∥CD1.

同理，ME∥A1B. 易证四边形A1BCD1为平行四边形，所以ME∥NF. 连接MD1，同理可得MD1∥BF. 又BF，NF为平面BFN中两相交直线，ME，MD1为平面CEM中两相交直线，

故平面CEM∥平面BFN. 8.

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在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．

解：取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，

AC1，设O为A1C，AC1的交点．由已知，O为AC1的中点．

连接MD, OE, 则MD, OE分别为△ABC, △ACC1的中位线，

所以，MD1AC，12OE2AC，

因此MDOE. 连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，

则DE∥MO. 因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，

所以直线DE∥平面A1MC. 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.

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