1.1.2 简单组合体的结构特征教案和课堂实录

第一章

空间几何体

1.1.1

柱、锥、台、球的结构特征

学习目标

1.通过对一些熟悉的物体的观察,增强学生的直观感知,从而能根据几何体的结构特征对空间几何体进行分类.

2.会用语言描述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征.

3.培养学生的空间想象能力和抽象概括能力.

学习过程

一、回顾旧知,承上启下

小学与初中同学们研究过哪些几何图形,在空间范围内研究过哪些? 二、探索新知

1.观察下面的图片,这些图片中的物体有什么结构特征?

特征1

特征2

特征3

棱柱的定义:

.

2.类比学习其他空间几何体

棱锥:特征1

,特征2

.

棱台:特征1

,特征2

.

请同学们结合前面的内容给出旋转体的概念或主要特征? 圆柱:

.

圆锥:

.

圆台:

.

球:

.

3.棱柱、棱台概念的深化理解

【例1】

(1)如图,过BC的截面截去长方体的一角,所得的几何体还是不是棱柱,被截去的几何体是不是棱柱? - 1 -

(2)观察长方体共有多少对平行平面,能作为棱柱底面的有几对?

(3)观察下面的棱柱,有多少对平行的平面,能作为棱柱底面的有几对?

(4)有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,由这些面所围成的多面体是否是棱柱?若是,为什么?若不是,试举出一个反例.

(5)结合棱台的定义,请同学们判断下列几何体是不是棱台并说明理由.

【例2】

把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4,母线长为10

cm,求圆锥的母线长.

三、作业精选,巩固提高

1.下列说法正确的是(

) A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行

B.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面

C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高

D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形

2.如图,观察四个几何体,其中判断正确的是(

) - 2 -

A.(1)是棱台

B.(2)是圆台

C.(3)是棱锥

D.(4)不是棱柱

3.有下列说法: ①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体; ②以直角三角形的一直角边为旋转轴,旋转所得的几何体是圆锥; ③圆台的任意两条母线的延长线,可能相交也可能不相交; ④圆锥的底面是圆面,侧面是曲面.

其中错误的有(

) A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4.有下列说法: ①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个; ②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面; ③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆; 其中正确的个数是(

) A.0

B.1

C.2

D.3 5.设圆锥的母线长为l,高为,过圆锥的两条母线作一个截面,则截面面积的最大值为

.

6.直角边为3

cm和4

cm的直角三角形绕其直角边旋转而形成的圆锥,母线长为

.

四、反思小结,观点提炼

- 3 -

第一章

空间几何体

1.1.2

简单组合体的结构特征

学习目标

1.掌握简单组合体的概念.

2.理解简单组合体的基本形式.

学习过程

一、学习新知,探索新知

现实世界中的物体表示的几何体,除柱体、椎体、台体、球体之外,还有大量的几何体由简单几何体组合而成,这些简单几何体叫做简单组合体.

问题1:请同学们观察下列图片,看它们是哪些几何体呢?

解答:

.

问题2:

那它们分别由哪些简单几何体形成的呢? 解答:前两个

.

第三个

.

第四个

.

问题3:请同学们总结简单几何体的主要组成方式? 方式一:

.

方式二:

.

问题4:

请同学们说出下列几何体的主要结构特征.

解答:第一个

.

第二个

.

二、典型例题,加深理解

【例1】如图,已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰,分别以AB,CD,DA为轴旋转一周,试说明所得几何体的结构特征.

- 4 -

【例2】如图,梯形ABCD中,AD平行于BC,且AD小于BC ,∠B和∠C均为锐角,梯形ABCD绕AD旋转一周,其他边旋转围成一个几何体,试描述这个几何体的结构特征.

- 5 -

第一章

空间几何体

1.2.1

中心投影与平行投影

学习目标

中心投影与平行投影的定义以及投影的分类.

学习过程

一、自主学习

1.中心投影:

.

2.平行投影:

.

二、典例分析

【例题】

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1A和C1C的中点,则下列判断正确的是

.

①四边形BFD1E在底面ABCD内的投影是正方形; ②四边形BFD1E在面A1D1DA内的投影是菱形; ③四边形BFD1E在面A1D1DA内的投影与在面ABB1A1内的投影是全等的平行四边形.

三、巩固提高

1.平行投影与中心投影的不同之处在于:平行投影的投影线

,而中心投影的投影线

.

2.两条相交直线的平行投影是(

) A.两条相交直线

B.一条直线

C.两条平行直线

D.两条相交直线或一条直线

3.如图所示的正方体中,M,N分别为A1A,C1C的中点,作四边形D1MBN,则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中,不可能出现的是(

)

- 6 -

空间几何体

1.2.2

空间几何体的三视图

学习目标

1.能画出简单空间图形的三视图.

2.能识别三视图所示的立体模型.

学习过程

一、提出问题,整体把握

(1)前面我们学***行投影,把一个空间几何体投影到一个平面上,可以获得一个平面图形,但是大家都知道由一个平面图形难以把握整个几何体的全部,那我们怎么来解决这个问题呢? 解答:

.

(2)以长方体为例,从简便易行的角度来说,我们通常情况下会从几个角度来观察? 解答:

.

(3)同学们回答得很正确,这样就得到了和视图有关的三个概念.

正视图:

;

侧视图:

;

俯视图:

;

(4)请同学们观察长方体的三视图,你能得出同一个长方体的正视图、侧视图和俯视图在形状、大小方面的关系吗?

二、互动探究,激发兴趣

(1)请同学们画出圆柱的三视图和圆锥的三视图.

(2)请同学们接着画出如图所示正四棱锥的三视图.

三、典型例题,强化训练

【例1】

试画出如图所示的矿泉水瓶的三视图.

- 7 -

【例2】画出如图所示的几何体的三视图.

【例3】请同学们说出下列图中的两个三视图分别表示什么样的几何体?

【例4】下图是一个几何体的三视图,想象该几何体的几何结构特征,并画出该几何体的形状.

【例5】

下图是一个奖杯的三视图,你能想象出它的几何结构吗?

四、作业精选,巩固提高

1.下列各项不属于三视图的是(

) A.正视图

B.侧视图

C.后视图

- 8 -

D.俯视图

2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形,俯视图为一个圆及其圆心,那么这个几何体为(

) A.棱锥

B.棱柱

C.圆锥

D.圆柱

3.如图所示,甲、乙、丙是三个立体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确的是(

)

①长方体

②圆锥

③三棱锥

④圆柱

A.④③②

B.②①③

C.①②③

D.③②④

4.已知空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的各侧面图形中,是直角三角形的有(

)

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

5.右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正视图、俯视图如右图;②存在四棱柱,其正视图、俯视图如右图;③存在圆柱,其正视图、俯视图如右图.其中真命题的个数是(

) A.3

B.2 C.1

D.0 6.将正三棱柱截去三个角(如图1所示,A,B,C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图为(

)

- 9 -

布置作业

课本P20习题1.2A组第1,2题.

- 10 -

1.2.3

空间几何体的直观图

学习目标

通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图,提高学生画图和识图的能力,培养学生的探究精神和意识,增强学生的空间立体意识,以及转化与化归的数学思想方法,为后续课程的学习打好基础.

学习过程

一、提出问题,引起联想

问题1:我们如何画一个水平放置的正六边形的直观图呢?

根据上图,写出其画法的步骤: (1)

.

(2)

.

(3)

.

二、典型例题,跟踪练习

【例1】梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4

cm,CD=2

cm,∠DAB=30°,AD=3

cm,试画出它的直观图.

问题2:请同学们用斜二测画法画水平放置的圆的直观图.

【例2】请同学们用斜二测画法画出长、宽、高分别是4

cm、3

cm、2

cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.

问题3:已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.

- 11 -

三、作业精选,巩固提高

1.利用斜二测画法画直观图时: ①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图是菱形.

以上结论中,正确的是

.

2.如图,△A'B'C'是△ABC的直观图,那么△ABC是(

) A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.钝角三角形

3.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则该平面图形的面积等于(

) A.

B.1+

C.1+

D.2+

4.如图,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(

)

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

5.如图所示,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.

课堂小结

1.平面图形的直观图画法

(1)在平面图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们分别画成对应的x'轴与y'轴,两轴交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.

(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度变为原来的一半.

(4)连接各个顶点,然后擦除辅助线即可.

2.立体图形的直观图画法

- 12 -

(1)在已知图形所在的空间中取水平面,作互相垂直的轴Ox,Oy,再作Oz轴,使∠xOy=90°,∠yOz=90°; (2)画出与Ox,Oy,Oz对应的轴O'x',O'y',O'z',使∠x'O'y'=45°,∠y'O'z'=90°,x'O'y'所确定的平面表示水平面; (3)已知图形中,平行于x轴、y轴和z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴和z'轴的线段,并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同; (4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段,长度变为原来的一半; (5)擦除作为辅助线的坐标轴,就得到了空间图形的直观图.

布置作业

课本P20习题1.2A组第5,6题.

- 13 -

第一章

空间几何体

1.3.1

柱体、锥体、台体的表面积与体积

学习目标

1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式,提高学生的空间想象能力和几何直观能力,培养学生的应用意识,增加学生学习数学的兴趣.

2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法,提高学生的运算能力,培养学生转化、化归以及类比的能力.

学习过程

一、课题导入,问题探究

问题1:我们已经学过正方体和长方体的表面积,以及它们的展开图,你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗?

问题2:棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体,如何计算它们的表面积?

问题3:类比棱柱和棱锥,如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征,求它们的表面积?

问题4:联系圆柱、圆锥的侧面展开图,你能想象圆台侧面展开图的形状,并且画出它吗?如果圆台的上、下底面半径分别是r',r,母线长为l,你能计算出它的表面积吗?

二、类比思考,引起联想

问题5:请同学们联想一下圆柱、圆锥和圆台的结构特征,它们的表面积之间有什么关系?

问题6:回顾长方体、正方体和圆柱,你能将它们的体积公式统一成一种形式吗,并依次类比出柱体的体积公式.

- 14 -

问题7:怎么得到锥体和台体的体积公式呢?

三、典型例题

【例1】若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的表面积为(

)

A.18

B.15

C.24+8

D.24+16

【例2】已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC,求它的表面积.

【例3】(1)两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,那么圆锥被分成的三部分的体积的比是(

) A.1∶2∶3

B.1∶7∶19

C.3∶4∶5

D.1∶9∶27 (2)三棱锥V-ABC的中截面是△A1B1C1,则三棱锥V-A1B1C1与三棱锥A-A1BC的体积之比是(

) A.1∶2

B.1∶4

C.1∶6

D.1∶8

【例4】

有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8

g/cm3)六角螺帽,共重5.8

kg,已知底面是正六边形,边长为12

mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm,问这堆螺帽大约有多少个?(π取3.14)

四、作业精选,巩固提高

1.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形,俯视图为一个半径为1的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为(

) A.

B.

C.

π

D.

2.向高为H的水瓶中匀速注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系如图所示,那么水瓶的形状是(

)

- 15 -

3.一个圆台的上、下底面面积分别是1

cm和49

cm,一个平行于底面的截面面积为25

cm2,则这个截面与上、下底面的距离之比是(

) 22A.2∶1

B.3∶1

C.

∶1

D.

∶1 4.已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面面积是

.

5.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.求

(1)该几何体的体积V; (2)该几何体的侧面积S.

布置作业

课本P28习题1.3A组第1,2,3题.

- 16 -

第二章

空间几何体

1.3.2

球的体积和表面积

学习目标

掌握球的表面积和体积公式,并能应用其解决有关问题,提高学生解决问题的能力,培养转化与化归的数学思想方法.

学习过程

一、课题引入,问题探究

问题1:圆的大小与半径有关,如何用半径来表示圆的面积?

问题2:若球的半径为R,它的表面积和体积只与球的半径R有关,是以R为自变量的函数,如果球的半径为R,那么如何用半径R来表示球的表面积和体积? 二、典型例题,加深理解

【例1】如图所示,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: (1)球的体积等于圆柱体积的

; (2)球的表面积等于圆柱的侧面积.

【例2】若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为

.

【例3】一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为

.

【例4】已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上,球心O在AB上,SO⊥底面ABC,AC=

r,则球的体积与三棱锥的体积之比是(

) A.π

B.2π

C.3π

D.4π

三、作业精选,巩固提高

1.若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π,则球的表面积是

.

2.三个球的半径之比为1∶2∶3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(

) A.1倍

B.2倍

C.

倍

D.

倍

3.有一个轴截面为正三角形的圆锥容器,内放一个半径为R的内切球,然后将容器注满水,现把球从容器中取出,水不损耗,且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体,问容器中水的高度为多少? - 17 -

布置作业

课本P28练习第1,2,3题.

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