2.1.4 平面与平面之间的位置关系教案2

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

【选题明细表】 知识点、方法

空间中直线之间的位置关系

平行公理与等角定理

异面直线所成的角

题号

1,4,5 2,8,13 3,6,7,9,10,11,12

1.(2018·陕西汉中期末)一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条( C ) (A)相交 (B)异面

(C)相交或异面

(D)平行

解析:一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C. 2.在三棱锥PABC中,PC与AB所成的角为70°,E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,则∠FEG等于( D )

(A)20° (B)70°

(C)110°

(D)70°或110°

解析:因为E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,所以EF∥AB,EG∥PC,所以∠FEG或其补角为异面直线PC与AB所成的角,又AB与PC所成的角为70°,所以∠FEG为70°或110°. 3.如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=AD,BC所成角是( C ) ,求异面直线

(A)30° (B)45°

(C)60° (D)120°

解:如图,取BD的中点M, 连接EM,FM. 因为E,F分别是AB,CD的中点, 所以EMAD,FMBC,

1

则∠EMF或其补角就是异面直线AD,BC所成的角. 因为AD=BC=2, 所以EM=MF=1, 在等腰△MEF中,过点M作MH⊥EF于H, 在Rt△MHE中,EM=1,EH=EF=, 则sin∠EMH=,于是∠EMH=60°, 则∠EMF=2∠EMH=120°. 所以异面直线AD,BC所成的角为∠EMF的补角,即异面直线AD,BC所成的角为60°.故选C. 4.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定( C ) (A)与a,b都相交

(B)只能与a,b中的一条相交

(C)至少与a,b中的一条相交

(D)与a,b都平行

解析:如图,a′与b异面,但a′∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.

5.如图,三棱柱ABCA1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( C )

(A)CC1与B1E是异面直线

(B)C1C与AE共面

(C)AE,B1C1是异面直线

(D)AE与B1C1所成的角为60°

解析:由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.故选C. 6.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC的中点,则异面直线DE与AB所成的角为

.

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解析:因为D,E分别是VB,VC的中点,所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角,又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形,于是∠ABC=45°,故异面直线DE与AB所成的角为45°. 答案:45°

7.如图所示,已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.

(1)直线AB1和CC1所成的角为

;

(2)直线AB1和EF所成的角为

.

解析:(1)因为BB1∥CC1,

所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角,∠AB1B=45°. (2)连接B1C,易得EF∥B1C, 所以∠AB1C即为直线AB1和EF所成的角. 连接AC,则△AB1C为正三角形, 所以∠AB1C=60°. 答案:(1)45°

(2)60°

8.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H,E在AB的何处时截面EGFH的面积最大?最大面积是多少?

解:因为AD与BC成60°角, 所以∠HGF=60°或120°. 设AE∶AB=x, 则==x. 又BC=a, 所以EF=ax.

3

由==1-x, 得EH=a(1-x). 所以S四边形EFGH=EF·EH·sin 60°=ax·a(1-x)×=a(-x+x)=22a[-(x-)+]. 22当x=时,S最大值=a, 2即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为a. 2

9.如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,HG与IJ所成角的度数为( B )

(A)90° (B)60° (C)45° (D)0°

解析:将三角形折成空间几何体,如图所示,HG与IJ是一对异面直线.因为IJ∥AD,HG∥DF,

所以DF与AD所成的角为HG与IJ所成的角,又∠ADF=60°, 所以HG与IJ所成的角为60°. 10.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论: ①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°; ③EF与MN是异面直线;④MN∥CD. 以上结论中正确结论的序号为

.

解析:还原成正方体如图所示,

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可知①正确. ②AB∥CM,不正确. ③正确.④MN⊥CD.不正确. 答案:①③

11.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问

(1)AM和CN是否是异面直线? (2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由. 解:由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MN∥AC,因此AM与CN不是异面直线. 由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法. (1)不是异面直线.理由: 因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点, 所以MN∥A1C1. 又因为A1AC1C, 所以A1ACC1为平行四边形. 所以A1C1∥AC,得到MN∥AC, 所以A,M,N,C在同一个平面内, 故AM和CN不是异面直线. (2)是异面直线,证明如下: 假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内,则

B∈平面CC1D1D,C∈平面CC1D1D. 所以BC⊂平面CC1D1D, 这与ABCDA1B1C1D1是正方体相矛盾. 所以假设不成立, 故D1B与CC1是异面直线. 12.如图,正方体ABCDEFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:

(1)BE与CG所成的角; (2)FO与BD所成的角. 解:(1)如图,因为CG∥BF, 所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,

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又△BEF中,∠EBF=45°,所以BE与CG所成的角为45°. (2)连接FH,因为HDEA,EAFB,所以HDFB,所以四边形HFBD为平行四边形, 所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角. 连接HA,AF,易得FH=HA=AF, 所以△AFH为等边三角形, 又依题意知O为AH的中点, 所以∠HFO=30°, 即FO与BD所成的角是30°.

13.如图,E,F,G,H分别是三棱锥ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且==λ,==μ.

(1)若λ=μ,判断四边形EFGH的形状; (2)若λ≠μ,判断四边形EFGH的形状; (3)若λ=μ=,且EG⊥HF,求的值. 解:(1)因为==λ, 所以EH∥BD,且EH=BD. ①

又因为==μ. 所以FG∥BD,且FG=又λ=μ,所以EHBD. ②

FG(公理4). 因此λ=μ时,四边形EFGH为平行四边形. (2)若λ≠μ,由①②,知EH∥FG,但EH≠FG,

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因此λ≠μ时,四边形EFGH为梯形. (3)因为λ=μ, 所以四边形EFGH为平行四边形. 又因为EG⊥HF, 所以四边形EFGH为菱形. 所以FG=HG. 所以AC=(λ+1)HG=HG=FG, 又BD=FG=3FG, 所以=.

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