2.1.4 平面与平面之间的位置关系教案板书设计

2．1．3

空间中直线与直线的位置关系（2）

【课题】：异面直线所成的角

【设计与执教者】：广东番禺中学，袁文华，e-mail地址jxyuanwh@126.com。

【教学时间】：

【学情分析】：教学对象是高一学生，学生在第一章已经对空间几何体有了整体认识，在前面又认识了平面的基本性质、空间直线的三种位置关系及平行公理，本节通过教师引导学生类比，把“等角定理”推广到空间，并在此基础上让学生理解异面直线所成的角的概念。教学中注意引导学生直观感知、操作确认、理性思考，尽量多结合模型、身边的实例、直观图。

【教学目标】：

（1）知识目标：

（1）理解并掌握等角定理；

（2）异面直线所成角的定义、范围及应用。

（2）过程与方法目标：

（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；

（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。

（3）情感与能力目标：让学生感受到本节课知识间的内在逻辑关系，提高学生的学习兴趣。

【教学重点】：等角定理及异面直线所成的角的概念。

【教学难点】：异面直线所成角的计算

【教学突破点】：充分发挥长方体作为图形语言的载体作用，把概念、例题讲明、讲透、讲活。

【教法、学法设计】：不断变换数学问题的陈述方式，在课堂上善于发现学生的数学思维，并与之交流、沟通，为学生构筑一个“浸润”数学过程性知识的认知环境，使学生以建构方式学习数学。

【课前准备】：课件

【教学过程设计】：

教学环节

一、复习引入

教学活动

①空间两条直线有哪些位置关系？

②请叙述公理4？

学生活动：回答问题。

设计意图

为探索新知识做准备

二、探究新知

猜一猜

思考：在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。空间中，结论是否仍然成立呢？

①

每人拿两支笔当作两条直线，每桌一组进行操作，看结论是否成立；

②

观察如图棱柱，它的底面是平行四边形（平行六面体），说明结论是否成立。

（图）

使学生逐步养成在空间思考问题的习惯

二、探究新知

学生活动：动手操作，尝试解答。

教师活动：课件演示等角定理。注意提醒学生，并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来，可用反例适当说明。

试一试

我们知道，平面内两条直线相交成四个角，其中不大于90°的角称为它们的夹角。夹角刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度。类似的，你如何来定义两条异面直线所成的角？

引导学生活动：拿两支笔当作直线，操作思考，尝试解答，可以在小组中探讨。回答问题。

教师活动：评价，课件演示异面直线所成角及异面直线垂直的概念。注意强调异面直线所成角的范围，并让学生体会把立体图形的问题转化为平面图形问题的思想方法。

考考你

探究：①如图长方体ABCD-A1B1C1D1，有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线？

（图）

②

如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？

③

垂直于同一条直线的两条直线是否平行？

例3 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1。

①

哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？

②

直线BA1和CC1的夹角是多少？

③

哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？

（图）

学生活动：完成解答。

教师活动：评价学生解答，课件演示答案。

尝试知识“创新”

以学生熟知的长方体和正方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的直线与直线之间的位置关系，使学生初步掌握依据定义、定理对空间图形进行推理论证的方法。

三、练习巩固

1．填空：如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，那么∠AOB和∠A1O1B1_____________. 2.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2√3,AA1=2. (1)BC和A1C1所成的角是多少度? (2)AA1和BC1所成的角是多少度? （图）

巩固知识，培养技能。

四、拓展与提高

1.判断以下命题是否正确：

①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行。

②若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行。

③若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行。

2．如图正方体中，AB的中点为M，DD1的中点为N，求异面直线B1M与CN所成的角。

D1 C1

巩固知识，培养技能。

A1 B1

N

D C

A

B M

⒈了解空间“等角定理”。

⒉理解异面直线所成的角及异面直线垂直的概念，五、小结

会求简单的异面直线所成的角及判断异面直线垂直。

六、作业

1．已知a,b,c是三条直线,且a∥b,a与c的夹角为θ,那么b与c的夹角为__________. 反思归纳

答案：

2．AA1是长方体的一条棱,这个长方体中与AA1垂直的棱共有_________条. 答案：8条。

3.如图,已知AA1,BB1,CC1不共面,且AA1∥BB1,AA1=BB1,BB1∥CC1,BB1=CC1.求证:△ABC≌△A1B1C1.

A1

A B1

C1

B

C

答案：证明：∵AA1∥BB1,AA1=BB1，

∴ACC1A1是平行四边形

∴AC∥A1C1,AC=A1C1 同理B1C1∥BC, B1C1= BC 又∵∠BAC与∠B1A1C1方向相同

∴∠BAC=∠B1A1C1 ∴△ABC≌△A1B1C1.

4．如果直线a、b为异面垂直直线，则a与过b的平面所成的角a的范围为（ ）

A．0°＜a＜90° B．0°≤a＜90° C．0°＜a≤90° D．0°≤a≤90°

答案：D。

5．如图是正方体的侧面展开图，，则在这个正方体中：

①BM与ED平行。 ②CN与BE是异面直线。

③CN与BM成60°角。④DM与BN是异面直线。

以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）

（A）①、②、③ （B）②、④

（C）③、④ （D）②、③、④

N D C M E A B F

答案：C。

6．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（ ）

A．AC B。BD C。A1D D。A1D1 答案：B。

7、下列命题中，正确结论有（

）

（1）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等

（2）如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等

（3）如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补

（4）如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两

条直线互相平行

Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个

答案：B 8、角和角的两边分别平行，若50`时，

。

答案：50°或130°。

9．如图3，在空间四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，又AC＝24，BD＝10，AC⊥BD，求EF。

B

答案：

解：取CD中点G，

连结EF，FG，GE，

∵AC⊥BD ∴EG⊥GF AEDF图3C11EG=AC=12，GF=BD=5 22∴EF=EGGF13

2210、若P为异面直线a、b外一点，则过P与a、b同时：

（1）平行的直线有

条；

答案：0。

（2）垂直的直线有

条；

答案：1。

（3）相交的直线有

条。

答案：0或1。

11、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R、S、M分别是棱A1B1、B1C1、AB、BC、B1B的中点，则异面直线

（1）A1B和B1C所成的角的大小等于

；

答案：60°。

（2）PM和RS所成的角的大小等于

；

答案：60°。

（3）BD1和B1C所成的角的大小等于

。

答案：90°。