2.1.4 平面与平面之间的位置关系PPT专用课堂实录内容

2.1.4

平面与平面之间的位置关系

武鸣中学

林玉玲

内容要求

1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系(重点)；2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系(难点)；3.掌握空间中平面与平面的位置关系(重点)．

知识点1

直线与平面的位置关系

1．直线与平面的位置关系

位置关系

直线在

平面内

直线与平面

相交

直线与平面

平行

定义

有无数个公共点

有且只有一个公

共点

没有公共点

图形语言

符号语言

a⊂α

a∩α

＝A

a∥α

2.直线与平面的位置关系的分类

(1)按公共点个数分类

直线和平面相交——有且只有一个公共点有公共点直线在平面内——有无数个公共点

无公共点——直线和平面平行(2)按直线是否在平面内分类

直线在平面内——所有点在平面内直线与平面相交

直线在平面外直线与平面平行【预习评价】

(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面．(×) (2)如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行．(×) (3)如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b.(×) (4)如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.(√)

知识点2

两个平面的位置关系

位置关系

平面α与平面β平行

平面α与平面β相交

【预习评价】

1．平面平行有传递性吗？

提示

有．若α，β，γ为三个不重合的平面，则α∥β，β∥γ⇒α∥γ. 2．分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？

提示

分别位于两个平行平面内的直线一定无公共点，故它们的位置关系是平行或异面.

题型一

直线和平面的位置关系

【例1】

下列说法中，正确的有(

) ①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

α∩β＝l 有一条公共直线

图形表示

符号表示

α∥β

公共点

没有公共点

解析

如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线垂直于这条直线，那么在这个平面内与所作直线平行的直线都与已知直线垂直，有无数条，所以②正确；对于③显然有无数条；而④，也有可能相交，所以错误．

答案

B 规律方法

直线与平面位置关系的判断

(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用

分类讨论的方法解决．

另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．

(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．

【训练1】

下列命题中，正确的命题是(

) A．若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α

B．若a∥α，b⊂α，则a∥b

C．若a⊂α，则a与α有无数个公共点

D．若a⊄α，则a与α没有公共点

解析

对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，直线a与b可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时只有一个公共点，所以D错．

答案

C 题型二

平面与平面的位置关系

【例2】

以下四个命题中，正确的命题有(

) ①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；

④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行．

A．③④

B．②③④

C．②④

D．①④

解析

当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误．

答案

A 规律方法

平面与平面的位置关系的判断方法：

(1)平面与平面相交的判断，主要以公理3为依据找出一个交点．

(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点．

【训练2】

如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(

) A．平行

B．相交

C．平行或相交

D．垂直

解析

根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系．如图所示．

答案

C

课堂达标

1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(

) A．一条直线不相交

C．无数条直线不相交

B．两条直线不相交

D．任意一条直线不相交

解析

直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．

答案

D 2．两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；

③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点．

其中正确的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 解析

①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确．

答案

B 3．下列命题中，正确的有(

) ①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

解析

②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，两个平面也有可能相交，故③错误．

答案

B 4．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(

) A．都平行

B．都相交

D．至少与其中一个平面平行

C．在两个平面内

解析

这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行．

答案

D 5．下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．

解析

对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．

答案

①②

课堂小结

1．弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．

2．长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称.

基础过关

1．与同一平面平行的两条直线(

) A．平行

B．相交

C．异面

D．平行、相交或异面

[来源:Zxxk.Com]

解析

与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面．

答案

D 2．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(

) A．α内的所有直线均与a异面

B．α内不存在与a平行的直线

C．α内的直线均与a相交

D．直线a与平面α有公共点

解析

若直线a不平行于平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确．

答案

D 3．以下四个命题：

①三个平面最多可以把空间分成八部分；

②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；

③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；

④若n条直线中任意两条共面，则它们共面．

其中正确的是(

) A．①②

B．②③

C．③④

D．①③

解析

对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错．所以正确的是①③. 答案

D 4．如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号)．

①不可能只有两条交线；

②必相交于一点；

③必相交于一条直线；

④必相交于三条平行线．

解析

空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点．

答案

①[来源:学科网ZXXK][来源:学,科,网Z,X,X,K]

5．下列命题正确的是________(填序号)．

①若a∥b，b∥α，则a∥α；②若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若a∥b，b⊂α，则a∥α. 解析

对于①，也有可能a⊂α，①不正确；对于②，α、β也可能相交，②不正确；

对于③，若a与b相交，则α与β相交，与条件矛盾，③正确；

对于④，也有可能a⊂α，④不正确．

答案

③

6．如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的位置关系并证明你的结论．

解

a∥b，a∥β.证明如下：

由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，

由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，

∵α∥β，a⊂α，b⊂β，

∴a，b无公共点．

又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b. ∵α∥β，∴α与β无公共点．

又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.[来源学#科#网]

7．如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．

解

平面ABC与β的交线与l相交．证明如下：

∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交．设AB∩l＝P，

则P∈AB，P∈l. 又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，

∴P∈平面ABC，P∈β. ∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，

∴直线PC就是平面ABC与β的交线，

即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，

∴平面ABC与β的交线与l相交．

能力提升

8．在长方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有(

) A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

解析

如图

[来源学科网ZXXK]

所示，结合图形可知

AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D. 答案

B 9．下列说法中正确的个数是(

) (1)平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线

(2)两个平面平行，其中一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

(3)直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线

(4)如果α∥β，a∥α，那么a∥β

A．0

B．1

C．2

D．3 解析

(1)错误．平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有2条或3条交线，还有可能只有1条交线；

(2)正确．由面面平行及线面平行的定义可知其正确；

(3)错误．直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行；

(4)错误．如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a⊂β. 答案

B 10．已知下列说法：

①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；

②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；

③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；

④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；

⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．

其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上)．

解析

①错，a与b也可能异面；②错，a与b也可能平行；③对，∵α∥β，∴α与β无公共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点；④对，由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；⑤错，a与β也可能平行．

答案

③④

11．若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．

解析

正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A为a，BC为b，若平面BCC1B1为α，则b⊂α；若平面CDD1C1为α，则b与α相交；若过AB，CD，C1D1，A1B1中点的截面为α，则b∥α. 答案

b⊂α，b∥α或b与α相交

12．如果平面α∥平面β，平面γ与α交于直线a，γ与β交于直线b，直线c在β内，且c∥b. (1)判断c与α的位置关系，并说明理由；

(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．

解

(1)∵α∥β，∴α∩β＝∅.又∵c⊂β，∴c与α无公共点，∴c∥α. (2)∵b⊂β，a⊂α，α∥β，∴a与b无交点．又∵a，b⊂γ，∴a∥b.又∵c∥b，∴c∥a. 13．(选做题)如图，ABCD－A1B1C1D1是正方体，在图1中，E，F分别是C1D1，BB1的中点，画出图1，图2中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．

解

在图1中，设N为CD的中点，连接NE，NB，则EN∥BF，∴B，N，E，F四点共面．∴EF与NB的延长线相交，设交点为M，连接AM.∵M∈EF，且M∈NB，又∵EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，∴M是平面ABCD与平面AEF的公共点，又∵点A是平面ABCD和平面AEF的公共点，∴AM为两平面的交线．

在图2中，延长DC到点M，使CM＝DC，连接BM，C1M，则C1M∥D1C∥A1B，∴M在平面A1BC1内．

又∵M在平面ABCD内，∴M是平面A1BC1与平面ABCD的公共点，又B是平面A1BC1与平面ABCD的公共点，∴BM是平面A1BC1与平面ABCD的交线．