习题3.1教学实录

直线的倾斜角和斜率（第一课时）

四川省旺苍中学

邹海军

【教学目标】

（1）

知识目标 ①

让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念。

②

通过对坡角、坡度概念回顾，经过教学使学生能把此知识迁移到直线的斜率中，并理解斜率的定义。

③

经历用代数方法刻画直线斜率的过程，使学生初步掌握过已知两点的直线的斜率坐标公式。

（2）能力目标

①

通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索、和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力。

②

通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。

（3）情感目标： ① 通过自主学习和合作交流，激发学生学习兴趣。 ②

通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数 学的魅力，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。

【教学重点】

①直线倾斜角与斜率概念；

②推导并掌握过两点的直线斜率公式；

【教学难点】

斜率概念的学习和过两点斜率公式的建立过程。

【教学方法】教师启发引导与学生自主探索相结合。

【教学手段】多媒体辅助课堂教学。

【教学过程】

（一）创设情境，揭示课题

利用水上乐园的滑梯这情境，向学生设问坐哪个滑梯更刺激，速度更快？为什么？（学生回答）

滑梯的陡峭与平缓反映滑梯的倾斜程度，这一节课我们要学习反映直线倾斜程度的两个几何量——倾斜角与斜率，从而揭示课题。

问题情境，形成概念

- 1 -

思考1、在平面直角坐标系内，过两点可以画几条直线？

2、过一点可以画几条直线？

3、与x轴正方向成30º角的直线有多少条? 1、过定点P且与x轴正方向成30º角直线有多少条？

2、引导学生得出倾斜角的意义和概念。

倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角，叫做直线l的倾斜角。

课堂练习:下列图中标出的直线的倾斜角对不对？

画一画：在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？画图表示。 规定：当直线与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0。

自然有倾斜角的范围是[0，180）

设计意图：让学生明确倾斜角的取值范围是0180

（二）巩固旧知，同化新知

思考2：日常生活中，你能举出一些表示倾斜程度的量？

设计意图：告知目标，明确思维的方向，将几何要素代数化

初中对坡度是如何定义的？

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坡度（比）=

升高量

前进量

（即坡角的正切值）

坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。

设计意图：引导学生理解直线的倾斜程度除了用倾斜角表示外，还可以用倾斜角的正切值表示，体现了几何向代数的转化过程，由此引出斜率概念。

2、斜率：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即ktan(90)

练习：当直线的倾斜角分别等于30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°时，直线的斜率如何求？

提示：

)tantan(180 概念辨析：根据倾斜角和斜率的概念判断下列命题的对错。

1.

直线的倾斜角为锐角α，则直线的斜率为 tanα

。( ) 2.

因为任意直线都有倾斜角，所以任意直线都有斜率。( ) 3.

因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平

行于y 轴的直线的倾斜角不存在。( ) 4.

直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大

。 ( ) （三）尝试推导，深化认识

两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率。看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。

思考3、在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1  x2，能否用P1

、P2的坐标来表示直线斜率k？

设计意图：让学生“应用斜率等于倾斜角的正切值”这一知识点推导出过两点的直线的斜率公式，同时加深学生对斜率概念的理解。

（学生活动）：随意在坐标系下画两点P1

、P2及直线P1 P2，探究各种图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。并请同学叙述各个图的推导过程与结果。

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yP2（x2，y2）Q （x2，y1）yP2（x2，y2）P1（x1，y1）αQ （x2，y1）OyP1（x1，y1）P2（x2，y2）Q （x1，y2）αOxxαP1（x1，y1）OxyP1（x1，y1）Q （x1，y2）P2（x2，y2）αOx解：设直线P1 P2倾斜角为（90）当直线P1 P2方向向上时，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线交于点Q，则点Q为（x2，y1）

（1）当为锐角时，QP1P2，x1x2，y1y2

在RtP1P21P2Q中，tantanQPQP2P1Qy2y1（老师引导推出结论）

x2x1（2）当为钝角时，180（设QP，x1x2，y1y2

1P2=）tan=tan(180)tan

在RtP1P2Q中，tan导）

QP2QP1y2y1yy1yy12（让学生分组推tan2x2x1x2x1x2x1同理，当直线P2P1方向向上时，无论为锐角或钝角，也有tany2y1，即x2x1ky2y1yy设计意图：通过自己的探索，完善两点式斜率公式k21（x1≠x2），x2x1x2x1检验得到公式与P1，P2两点的顺序无关。

思考4：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与P1、P2这两点坐标顺序有关系吗？

2、当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论适用吗？（学生讨论）

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3、斜率公式使用时应注意什么问题？

（四）典型例题：

例1.已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直线AB,BC,CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角。设计意图：直接利用斜率定义式求解，熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系。

（五）反思小结，概括提炼（同学们这节课有何收获？）

(1). 倾斜角、斜率的概念；

(2).两点

斜率的计算公式；

(3).理解了刻画倾斜程度的量(倾斜角和斜率),知道了求斜率的两种方法(定义法和坐标法). （六）练习与测试

1.下列叙述中不正确的是（ ）

A.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应. B.每一条直线都唯一对应一个倾斜角. C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°. D.若直线的倾斜角为 ，

则直线的斜率为tan. 2.经过A(2，0),B(5，3)两点的直线的倾斜角是（ ）

A. 45° B. 90° C. 135° D.60°

3.过点P(-2，m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为（ ）

A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 4.直线经过二、三、四象限，l的倾斜角为，斜率为k,则

为 角，

k的取值范围是_______ . （七）能力提高(思考题) （1）

直线的斜率大于1时，求倾斜角的范围. (2)已知两点A(-2,1)B(3,2),若过点P(0,-1) 的直线l与线段

AB总有公共点，求直线l的斜率的范围.

（八）作业： P89：1、2、3，复习正切函数图像，预习直线的倾斜角和斜率（2）

(九)板书设计 直线的倾斜角与斜率

1、倾斜角的定义

范围[0，180）

2、直线的斜率

ktan（90）

ky2y1（x1≠x2）

x2x1

(十)课后反思

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