复习参考题课件配套优秀教案案例

立体几何的热点题型------折叠问题

东莞实验中学 段伟

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教学目的：理解空间几何体的结构，掌握翻折前后平面与立体图形的区别，通过复习空间图形的折叠变化培养学生的空间想象能力

教学重点难点：折叠问题的破解方法

教学过程：

一．引入问题

折叠问题是指将平面图形按某种要求翻折为立体图形，考察由此产生的位置关系和数量关系，这类问题由于涉及到平面到空间的动态变化，对空间想象能力，识图能力及分析能力要求均较高，是近年来高考的热门题型，要解决好此类问题应从哪些方面入手？

二．提出解决方案

解决翻折问题可以从以下三个步骤考虑：

第一步：看两图

两图指折叠前的平面图形和折叠后的立体图形，有时候题目中可能只给出平面图形，这就需要我们自己去画立体图形，我们应该对比两个图形，思考下面的问题；

（1）

折痕是哪些直线？折痕与折叠特征是折叠问题的两大要素，是引发后面问题的“罪魁祸首”，呵呵，这么说只是强调一下折痕的重要地位，盐打哪儿咸，醋打哪儿酸，解决折叠问题的思维起点，位置与数量关系的变化皆与折痕有关，要明确一点：位于折痕同一侧的点，线的关系是不变的；

（2）

折叠前后哪些点重合了？重合的点往往意味着重合的线段，即立体图形中明明是一条线段，但在原来的平面图形中则是两条相等的线段。

（3）

折叠前后哪些点或线不在原平面而被翻折到了空间？

第二步：挖掘折叠特征

折叠特征就是把平面图形翻折要实现的目的，它是解题的一个重要已知条件，我们应该充分理解、挖掘这个特征，常见的折叠特征有以下三种：

（1）将平面图形折叠成某个度数的二面角，比如直二面角，这种情况我们就应该找到这个二面角的平面角，在立体图中标出；

（2）使几个点重合，这种情况我们就应该标出哪些点重合的；比如若A,B两点重合记为点P的话，我们可以在图上标记为P(A,B),这样便于翻折前后的对比；

（3）使指定的两个点的距离是某值，那么我们应该连接相关的点；

第三步：结合问题，寻找不变量

通过前两步，我们已经对翻折过程有了比较清晰的了解，对翻折得到的立体图形的空间形态也有了全方位的认识，那么最后一步，就是结合问题，充分利用翻折前后图形的性质来寻找解题的途径，而其中翻折前后的“不变量”往往是解题的关键，常见的不变量有“不变的垂直关系，不变的长度关系，不变的平行关系“这三类，当解题受阻时就应该思考“哪些量是不变的？”，可以说找到了不变量就找到了解题的钥匙！

上述三步曲是解决折叠问题的总的规律，在实际解题中应灵活运用，下面举例说明在解题中，我们如何走好这“三步”，重点来看一下三种“不变量”是如何在解题中运用的。

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三．例题选讲

例.已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD绕矩形的对角线BD所在的直线进行翻折. (1) 当平面ABD平面BCD时，求三棱锥ABCD的体积；

(2) 当平面ABD平面BCD时，求直线AC和平面BCD所成角的正切值；

(3) 当平面ABD平面BCD时，求点D到平面ABC的距离；

(4) 当平面ABD平面BCD时，求三棱锥A-BCD的外接球的体积；并探究当△ABD绕矩形的对角线BD所在的直线进行翻折的过程中，.该外接球的体积有没有变化. (5) 当△ABD绕矩形的对角线BD所在的直线进行翻折的过程中，是否存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；

(6)当△ABD绕矩形的对角线BD所在的直线进行翻折的过程中，是否存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直. (7)当△ABD绕矩形的对角线BD所在的直线进行翻折的过程中，是否存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；

(8)在△ABD绕矩形的对角线BD所在的直线进行翻折的过程中，当直线AB与直线CD垂直时，求三棱锥A-BCD的体积和三棱锥A-BCD内切球的半径；

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四．拓展与思考

变式：已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点M为BC的中点，将△ABM绕直线AM翻折到△AB1M，若点N是线段B1D的中点，则在翻折的过程中，以下命题正确的是

①存在某个位置，使得CN//AB1M；

②

CN是定值；

③点N在某个球面上运动；

④存在某个位置，使得AMB1D

五．作业布置

完成相应内容的专题训练

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小结：

将平面图形沿直线翻折为立体图形，实际上是以该直线为轴的一个旋转。求翻折问题的基本方法：先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系发生了变化，哪些没有变，弄清它们是解决问题的关键．一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．

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