习题4.2优秀教案

【新课教学过程设计】

第四章

圆与方程

第4.2节 直线与圆的位置关系

（第一节复习课） 【本节教材分析】

（一）三维目标

1．知识与技能（1）进一步理解掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离；（2）巩固利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离及会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系

（3）会运用数形结合思想方法来解决圆与直线位置关系解决一些实际问题；.2.过程与方法（1）设直线l：ax + by + c = 0，圆C：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，圆的半径为r，圆心(DE则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：当d＞r时，,)到直线的距离为d，22直线l与C相离；当d＝r时，直线l与圆C相切；当d＜r时，直线l与圆C相交；（2）会用直线与圆的方程解决一些条件下的切线、弦长及综合问题；（3）领会数形结合思想方法、提高发现问题，分析问题、解决问题的能力；3．情感、态度与价值观让学生再次感受到数学研究的过程，体验得到知识并拥有知识的快乐，增强数学的兴趣，培养学生数形结合，方程思想的思想内涵，养成良好的思维习惯.

（二）教学重点：

（1）巩固直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.（2）会用直线与圆的方程解决一些条件下的切线、弦长及综合问题；

（三）教学难点：

用坐标法判定直线与圆的位置关系及综合问题；（四）教学建议

本节课是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的,是为巩固直线与圆的位置关系；为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课.本节复习的主题是直线和圆,在解析几何中,

直线与圆的关系是一个非常重要的知识点,可以对学生的思维有一个很好的锻炼,将几种重要的数学思想灌输给学生.首先,一开始的复习提问全面又突出重点,特别是“初中学习的如何判断直线和圆的位置关系？”这个问题,为学生思考提供了很好的引导.其次对于例题的选择有很高的要求,好的例题是一个好教案的重要保证.在例题的设计方面,本教案共分为三个层次来一步步的推进,让学生由浅入深,从思维容量上层层递进,对学生的思考和分析都有很好的引导作用,通过思路1的例题1、2对直线与圆的几种位置关系作了巩固,是每个学生都必须也能够掌握的.但这几题虽是基础题也并不是平淡无奇的题,它印证了判定的条件和结论在一定条件下是可以转化的.通过思路2的例题1、2，对圆的切线方程的求法进行了说明和总结.这个知识点与“直线与圆”联系起来,而且同时又渗透了数形结合的思想.让学生通过具体的练习，通过自主地思考、研究,来体会数学思想对我们解题和研究的作用.例题3的设计给学生留下了讨论的空间，不仅将与直线与圆有关的各知识点联系了起来，而且还通过各知识点之间的联系、综合应用，组织学生一起思考起来，对应用的加强更是体现了“分类活动，激发潜能”的基本要求.

【新课导入设计】

导入一：

平面解析几何是高考的重点和热点内容,每年的高考试题中有选择题、填空题和解答题,考查的知识点有直线方程和圆的方程的建立、直线与圆的位置关系等,本节主要学习直线与圆的关系.

一、【复习回顾知识点梳理】

知识点

直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断

位置关系

公共点个数

几何法：

|Aa＋Bb＋C|设圆心到直线的距离为d＝

A2＋B2判定方法

代数法：

Ax＋By＋C＝0，由

222x－a＋y－b＝r，相交

2个

相切

1个

相离

0个

dr

Δ>0

Δ＝0

Δ<0 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ

二、【例题题型探究讲解】

类型一

直线与圆的位置关系的判断

例1

求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：①相交；②相切；③相离．

解

圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，

故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝①若相交，则d＜r，即②若相切，则d＝r，即③若相离，则d＞r，即6，圆的半径为r＝2. m2＋16＜2，所以m＜－22或m＞22；

m2＋16＝2，所以m＝±22；

2m＋16＞2，所以－22＜m＜22. m2＋1【反思与感悟】

直线与圆的位置关系的判断方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．

(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．

(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．

跟踪训练1

对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(

) A．相离

C．相交但直线不过圆心

答案

C 解析

直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，由定点(0,1)在圆x2＋y2＝2内，则直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2一定相交．又直线y＝kx＋1的斜率存在，则该直线必不过圆心(0,0)，故选C. 类型二

切线问题

命题角度1

求切线方程

例2

过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．

解

因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，

所以点A在圆外．

①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，

则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0. 设圆心为C，

因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，

|3k－1－3－4k|所以＝1，即|k＋4|＝k2＋1，

2k＋1B．相切

D．相交且直线过圆心

15所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－. 81515所以切线方程为－x－y＋－3＝0，

82即15x＋8y－36＝0. ②若直线斜率不存在，

圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，

这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4. 综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4. 引申探究

若本例的条件不变，求其切线长．

解

因为圆心C的坐标为(3,1)，

设切点为B，则△ABC为直角三角形，

|AC|＝3－42＋1＋32＝17，

又|BC|＝r＝1，

则|AB|＝|AC|2－|BC|2＝172－12＝4，

所以切线长为4. 【反思与感悟】

求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目．

(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的1斜率k，则由垂直关系，切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率k不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0. (2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：

设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．

跟踪训练2

若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．

答案

x＋2y－5＝0 解析

点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，可得此圆的方程为x2＋y2＝5，所以该圆在点P处的切线方程为1×x＋2×y＝5，即x＋2y－5＝0. 命题角度2

已知直线与圆相切，求圆的方程

例3

过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为_______．

答案

(x－3)2＋y2＝2

解析

由已知kAB＝0，

所以AB的中垂线方程为x＝3.

①

过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，

②

x＝3，联立①②，解得

y＝0，

所以圆心坐标为(3,0)，

半径r＝4－32＋1－02＝2，

所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2. 【反思与感悟】

此类题易错点是求最值时，对参数无法破解而致错，避免此类错误的关键：一是会用公式，即会利用点到直线的距离公式求距离；二是会转化，把要求的半径最大问题，转化为求代数式的最值；三是会利用圆的标准方程写出圆的方程.

跟踪训练3

已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(

) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 答案

B 解析

设圆心为C(a，－a)，

|a＋a||a＋a－4|则＝，解得a＝1，

22|1＋1|所以r＝＝2，

2圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选B. 类型三

弦长问题

例4

(1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．

(2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为22的圆的方程为_________________．

答案

(1)30

(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝4 解析

(1)方法一

(交点法) 由题意知，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，

即x＋y－1＝0. x＋y－1＝0，由22

x＋y＝8，

1＋151－151－151＋15解得A(，)，B(，)．

2222∴|AB|＝1－151＋1521＋151－152－＋－＝30. 2222方法二

(弦长公式) 由题意知，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，

即x＋y－1＝0. x＋y－1＝0，由22

x＋y＝8，

消去y，得2x2－2x－7＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

7∴x1＋x2＝1，x1x2＝－. 27∴|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1·12＋4·＝30. 2方法三

(几何法) 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，

即x＋y－1＝0，

|－1|2圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝＝，

22则有|AB|＝2r2－d2＝2 18－＝30. 2(2)设圆的半径为r，由条件，得

|2＋1－1|圆心到直线y＝x－1的距离为d＝＝2. 2又直线y＝x－1被圆截得的弦长为22，

即半弦长为2，∴r2＝2＋2＝4，得r＝2，

∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4. (3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的弦长为45，求直线l的方程．

解

方法一

若直线l的斜率不存在，

则l：x＝5与圆C相切，不合题意，

∴直线l的斜率存在，

设其方程为y－5＝k(x－5)，

即kx－y＋5(1－k)＝0. 如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，

|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，

在Rt△AHO中，|OA|＝5，

11|AH|＝|AB|＝·45＝25. 22∴|OH|＝|OA|2－|AH|2＝5，

|51－k|∴2＝5，

k＋11解得k＝或k＝2. 2∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0. 方法二

若直线l的斜率不存在，

则l：x＝5与圆C相切，不合题意，

∴直线l的斜率存在，

设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，

且与圆相交于A(x1，y1), B(x2，y2)两点．

y－5＝kx－5，由22消去y，

x＋y＝25，

得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0，

∴Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，

解得k>0. 10k1－k25kk－2又∵x1＋x2＝－2，x1x2＝2，

k＋1k＋1由斜率公式，

得y1－y2＝k(x1－x2)．

∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2x1－x22

＝1＋k[x1＋x2－4x1x2]＝22100k21－k225kk－21＋k[]＝45，

22－4·2k＋1k＋12两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，

1解得k＝或k＝2，均符合题意．

2故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0. 【反思与感悟】

求直线与圆相交时的弦长有三种方法

(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式

|AB|＝x1－x22＋y1－y22求解．

(2)弦长公式：

如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交

点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2|x1－x2|＝

－y2|(直线l的斜率k存在)．

11＋2|y1k

(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，|AB|222则有()＋d＝r，即|AB|＝2r2－d2. 2通常采用几何法较为简便．

跟踪训练4

已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：x2＋y2＝8. (1)证明：直线l与圆相交；

(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长．

(1)证明

∵l：kx－y＋k＋2＝0，

直线l可化为y－2＝k(x＋1)，

∴直线l经过定点(－1,2)，

∵(－1)2＋22<8，

∴(－1,2)在圆C内，

∴直线l与圆相交．

(2)解

由(1)知，直线l过定点P(－1,2)，

又圆C：x2＋y2＝8的圆心为原点O，

则与OP垂直的直线截得的弦长最短．

∵kOP＝－2，

1∴kl＝，

21∴直线l：y－2＝(x＋1)，

2即x－2y＋5＝0. 设直线l与圆交于A、B两点，

|AB|＝2r2－|OP|2＝28－5＝23. ∴直线l的方程为x－2y＋5＝0，弦长为23. 三、【当堂训练】

1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(

) A．相切

B．相交但直线不过圆心

C．直线过圆心

D．相离

答案

B

解析

圆心到直线的距离为d＝12＝<1，

1＋12又直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，故选B. 2．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(

) A．－2或12

C．－2或－12

答案

D 解析

圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，

可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，

|7－b|由圆心(1,1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，

5得b＝2或12，故选D. 3．圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为(

) 32A.

232C.＋4

2答案

C 解析

圆心(0,0)到直线x－y＝3的距离为32的最大值为＋4. 24．圆x2＋y2＝4截直线3x＋y－23＝0所得的弦长为(

) A．2

B．1

C.3

D．23 答案

A 解析

圆心(0,0)到直线3x＋y－23＝0的距离为＝2. 5．直线y＝kx＋3与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，且|MN|≥23，则k的取值范围是________．

答案

(－∞，0] 解析

因为|MN|≥23，所以圆心(1,2)到直线y＝kx＋3的距离不大于22－32＝1，即|k＋1|≤1，解得k≤0. k2＋1|－23|32＋122＝3，则弦长为22－32B．2或－12 D．2或12 32B．4－

2D．0 32＝，则该圆到直线x－y＝3的距离212＋－12|－3|四、【课堂小结与反思】

1．直线与圆位置关系的两种判断方法比较

(1)若直线和圆的方程已知，或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单．

(2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单．

2．过一点的圆的切线方程的求法

(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．

(2)若点在圆外时，过该点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过该点的切线的斜率不存在．

3．与圆相关的弦长问题的两种解决方法

(1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长，这是常用解法．

(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法．

五、【课后作业】P128练习2、3 、

4

课时作业

一、选择题

1．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2外，则直线x0x＋y0y＝R2与圆的位置关系是(

) A．相切

C．相离

答案

B 222解析

因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2外，所以x0＋y20＞R，圆心到直线x0x＋y0y＝R的距B．相交

D．不确定

|R2|R2离为22＜＝R，所以直线与圆相交，故选B. x0＋y0R2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(

) A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案

C |a＋1|解析

圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a,0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，则d≤r＝2⇔2≤2⇔|a＋1|≤2⇔－3≤a≤1. 3．以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为(

)

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 答案

C B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 解析

由圆心为(2，－1)可排除B，D. 由(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离为d＝3知，r＝3. ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9. 4．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为(

) A．x－y＋5＝0

C．x－y－5＝0

答案

A 解析

由圆的一般方程，可得圆心为M(－1,2)．由圆的性质易知，M(－1,2)与C(－2,3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1⇒kAB＝1.故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0. 5．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(

) A．52

C．152

答案

B 解析

圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，由圆的性质可知最长弦|AC|＝210，最短弦BD恰以E(0,1)为中点，且与AC垂直，设点F为其圆心，坐标为(1,3)．

故|EF|＝5，∴|BD|＝210－52＝25，

1∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝102. 26．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(

) 53A．－或－

3554C．－或－

45答案

D 解析

由已知得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝32B．－或－

2343D．－或－

34B．102 D．202 B．x＋y－1＝0 D．x＋y－3＝0

|－3k－2－2k－3|＝1，

k2＋143解得k＝－或k＝－，故选D. 347．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为2的点有(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

答案

C 解析

圆的一般方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8.圆心坐标为(－1，－2)，圆的半径|－1－2＋1|2为22，圆心到直线l的距离为＝＝2.因此和l平行的圆的直径的两端点及212＋12与l同侧且与l平行的圆的切线的切点到l的距离都为2. 二、填空题

8．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________. 答案

4±15 |a＋a－2|解析

圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.因为△ABC为等边三角形，所以a2＋1|a＋a－2|222|AB|＝|BC|＝2，所以()＋1＝2，解得a＝4±15. a2＋19．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为22，则圆C的标准方程为____________．

答案

(x－3)2＋y2＝4 解析

设圆心坐标为(x0,0)(x0>0)．

|x0－1|由于圆过点(1,0)，则半径为r＝|x0－1|，圆心到直线x－y－1＝0的距离为d＝. 2由弦长为22可知，解得(x0－1)2＝4，

∴x0－1＝±2，∴x0＝3或x0＝－1(舍去)．

故圆心坐标为(3,0)，半径为2，

∴所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝4. 10．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．

答案

7 |x0－1|2＝(x－1)2－2，

02解析

切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心的距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的|3－0＋1|距离为d＝＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7. 2

三、解答题

11．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为27，求圆C的方程．

解

设圆心坐标为(3m，m)，

∵圆C和y轴相切，∴圆C的半径为3|m|. ∵圆心到直线y＝x的距离为|2m|＝2|m|，

2由半径、弦心距、半弦长的关系，得9m2＝7＋2m2，

∴m＝±1.∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 12．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点O. 解

假设存在且设l为y＝x＋m，圆C化为标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心C(1，－2)．

y＝x＋m，解方程组

y＋2＝－x－1，

m＋1m－1得AB的中点N的坐标为N(－，)．

22由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN|＝|ON|. 又|AN|＝|CA|－|CN|＝|ON|＝－22m＋329－，

2m＋12m－12＋. 223＋m2m＋12m－12所以9－＝－＋，

222解得m＝1或m＝－4. 所以存在直线l，方程为x－y＋1＝0和x－y－4＝0，并可以检验，这时l与圆C是相交于两点的．

13．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0. (1)求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；

(2)设l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝17，求直线l的倾斜角．

(1)证明

由已知得直线l：y－1＝m(x－1)，

所以直线l恒过定点P(1,1)，

因为12＝1<5，

所以点P在圆C内，

所以直线l与圆C总有两个不同的交点．

(2)解

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

22x＋y－1＝5，联立方程组消去y得

mx－y＋1－m＝0，

(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0，

2m2则x1，x2是一元二次方程的两个实根，x1＋x2＝2，

m＋1m2－5x1x2＝2. m＋1因为|AB|＝1＋m2|x1－x2|＝1＋m2·x1＋x22－4x1x2，

16m2＋20即17＝1＋m·，

1＋m22所以m2＝3，m＝±3，

所以直线l的倾斜角为60°或120°. 四、探究与拓展

14．过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的有________条．

答案

32 解析

由题意可知过点A(11,2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26，所以弦长为整数的有2＋2×(26－10－1)＝32(条)．

15．已知圆C过点M(0，－2)，N(3,1)，且圆心C在直线x＋2y＋1＝0上．

(1)求圆C的方程；

(2)问是否存在满足以下两个条件的直线l：①直线l的斜率为1；②直线l被圆C所截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线l，请求出其方程；若不存在，请说明理由．

解

(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则4－2E＋F＝0，10＋3D＋E＋F＝0，D－－E＋1＝0，2

解得D＝－6，E＝4，F＝4，

所以圆C的方程为x2＋y2－6x＋4y＋4＝0. (2)假设存在这样的直线l，其方程为y＝x＋b. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

22x＋y－6x＋4y＋4＝0，则联立消去y得

y＝x＋b，

2x2＋2(b－1)x＋b2＋4b＋4＝0，

(*)

x＋x＝1－b，122∴

b＋4b＋4x2＝，2x1·∴y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2. ∵AB为直径，圆C1过原点，∴∠AOB＝90°，

∴|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，

22222∴x1＋y21＋x2＋y2＝(x1－x2)＋(y1－y2)，

得x1x2＋y1y2＝0，∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，

即b2＋4b＋4＋b(1－b)＋b2＝0，解得b＝－1或b＝－4. 容易验证b＝－1或b＝－4时方程(*)有实根．

故存在这样的直线l，其方程是x－y－1＝0或x－y－4＝0.