习题1.2特级教师教学实录

空间几何体的三视图和直观图

一．

学习目标

1.

了解中心投影和平行投影的概念

2.

会判断简单的空间几何体的三视图

3.

掌握简单几何体与三视图的相互转化

定义：把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；

把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。

1.

2.

光线从几何体的前面向后面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的_______；光线从几何体的左面向右面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的_______；光线从几何体的上面向下面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的_______；几何体的________、_________、_________统称为几何体的三视图。

四．对概念的分析与理解

1.当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影具有下述性质：

（1）

直线或线段的平行投影仍是直线或线段。

（2）

平行直线的平行投影是平行或重合的直线。

（3）

平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长。

（4）

与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等。

2.三视图的排列规则是：先画正视图，俯视图安排在正视图的正下方，长度与正视图一样；侧视图安排在正视图的正右方，高度与正视图一样。正视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图；俯视图与侧视图共同反映物体的宽度要相等。

三视图的画法：长对正、高平齐、宽相等。

3.辨析平行投影和中心投影

剖析：平行投影和中心投影都是投影，但二者又有区别：

（1）

中心投影的投影线交于一点，平行投影的投影线互相平行。

（2）

平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同。

（3）

画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投影法

4.旋转体的三视图

当旋转体的底面水平放置时，它的三视图比较简单，这时常见的三视图分别为：

1

（1）

圆柱的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是圆。

（2）

圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆心

（3）

圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆。

（4）

球的正视图、侧视图和俯视图都是圆。

显然，它们有共同的特征：①俯视图肯定存在一个圆，还可能存在另外的圆或者点，但是不会出现其他的图形，因为它们是绕着轴旋转形成的。

②它们的正视图和侧视图都是相同的，都是这个结合体的轴截面。对于球比较特殊，它的轴截面也是圆，所以使得它的三个视图是完全相同的。

5用斜二测画法画直观图

斜二测画法，直观图中斜坐标系x'o'y'，两轴夹角为45；z轴与x轴夹角为90°，平行于x轴长度不变，平行于z轴长度不变，平行于y轴长度减半。

关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点。应为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形。

典型例题

例1：画出下列几何体的三视图。

点评：1.画三视图的方法和步骤

(1)选择确定正前方，确定投影面，正前方应垂直于投影面，然后画出这时的正投影面------主视图

(2)自左到右的方向垂直于投影面，画出这时的正投影------左视图

⑶自上而下的方向是固定不变的。在物体下方确定一个水平面作为投影-----俯视图

例2：设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图。

.变式：根据下面的三视图, 画出相应空间图形的直观图.

2

主视图 左视图

俯视图．

例3如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的_________

小结：画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定

该图形的关键点，

如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接这些点

即可得此图形在

该平面上的投影。

例4

某几何体的三视图如图所示，试分析该几何体的结构特征。

小结：根据三视图想象空间几何体时，需要根据几何体的

正视图、侧视图、俯视图的集合特征，想象整个几何体的

特征，从而判断三维视图所描述的几何体。通常是根据

俯视图判断是多面体还是旋转体，再结合正视图和俯视图

确定具体的几何体结构特征，最终确定是简单几何体还是

简单组合体。

例5：画水平放置的正三角形的直观图。

点评：在条件“平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半”之下，正三角形的直观图为斜三角形。

变式：（画正五边形的直观图，边长为2）

例6：如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（

）

A'D'B'C'

3

A.

122+2 2B .1+2

C.12

D.22

自主训练

根据下列的主视图和俯视图，找出对应的物体，填在下列横线上。

(1)

B

(2)

D

(3)

A

(4)

C

主视图

俯视图

(1)

A B C D (2) (3) (4) 2，画水平放置的正五边形的直观图。

.3，画棱长为2cm的正方体的直观图.

课外练习

1.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等腰三角形，俯视图为一个圆及其圆

4

心，那么这个几何体是（

）

A.棱锥

B棱柱

C圆锥

D圆柱

2.下列几何体各自的三视图中有且仅有两个视图相同的是（

）

(1)正方体(2)圆锥(3)三棱台(4)正四棱锥A（1）（2）

B（1）（3）

C（1）（4）

D（2）（4）

3.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则阴影部分在平面ADD1A1上的投影为（

）

D1A1D1A1D1A1D1A1C1B1A1D1BDMN

ADAADB'''ADCADD'''A'C

4.如图，三角形ABC是ABC得直观图其中ABAC，那么ABC是（

）

A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形

y'C'A'B'5已知ABC的直观图如图所示，则ABC的面积为_________ O'

y'

3C'

21

O'B'

(A')132x'

6.下列说法正确的是（

）

A平行投影的投影线相交于一点，中心投影的投影线相交于一点

B平行投影的投影线相交于一点，中心投影的投影线互相平行

C平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线互相平行

D平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点

7.如图所示，几何体的正视图和侧视图都正确的是（

）

8.如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间（

）

t变化的图像可能是

x'

5

（第8题）

9，.如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'6,O'C'2，则原图是（

）

A正方形 B矩形

C菱形

D梯形

10，.如图，水平放置的ABC的斜二测直观图是图中的A'B'C'，已知A'C'6,B'C'4，则AB边的实际长度是_______。

A'y'y'C'O'B'(O')

（第9题）

（第10题）

1,1.下列图形：（1）线段；（2）直线；（3）圆；（4）梯形；（5）长方体。其中投影不可能是直线的是_ ________。

12.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的

两个全等的等腰直角三角形，则用_______个这样的几何体可以拼成

一个棱长为4的正方体。

A'x'B'D'C'x'y'42B'A'

（第12题） （第13题） （第14题）

13.如图，是AOB用斜二测画法画出的直观图，则AOB的面积是________。

14.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起形成三棱锥CABD

的正视图与侧视图如图所示，求侧视图的面积。

O'24x'

6