1.2.1 充分条件与必要条件第二课时 公开课

[命题报告·教师用书独具] 考查知识点及角度

四种命题及其关系

充要条件的判断

充要条件的应用

一、选择题

1．(2013年北京西城模拟)命题“若a＞b，则a＋1＞b”的逆否命题是(

) A．若a＋1≤b，则a＞b

C．若a＋1≤b，则a≤b

解析：逆否命题为“若a＋1≤b，则a≤b”．

答案：C 2．(2012年高考天津卷)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(

) A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

解析：由条件推结论和结论推条件后再判断．

若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．

答案：A 3．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(

) A．3

C．1

B．2 D．0 B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

B．若a＋1＜b，则a＞b

D．若a＋1＜b，则a＜b

题号及难度

基础

1、3

2

中档

6、9、10

4、8、11

5、7

稍难

12 解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中的真命题只有一个．故

选C. 答案：C 4．(2013年深圳模拟)已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：依题意，由a⊥α，b⊂α，c⊂α，得a⊥b，a⊥c；反过来，由a⊥b，a⊥c不能得出a⊥α，因为直线b，c可能是平面α内的两条平行直线．综上所述，“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的充分不必要条件，选A. 答案：A 5．(2013年潍坊模拟)命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(

) A．a≥4

C．a≥5

B．a≤4 D．a≤5 解析：命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C. 答案：C 二、填空题

6．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是____________命题．(填“真”或“假”) 解析：其否命题为“若x≤0，则x2≤0”，它是假命题．

答案：假

7．若“x2>1”是“x

解析：由x2>1，得x<－1，或x>1，

又“x2>1”是“x1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1. 答案：－1 8．(2013年河源模拟)对任意实数a，b，c，给出下列命题：

①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；

②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；

③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；

④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．

其中真命题的序号是________．

解析：①中“a＝b”可得ac＝bc，但c＝0时逆命题不成立，所以不是充要条件，②正确，③中a＞b时a2＞b2不一定成立，所以③错误，④中“a＜5”得不到“a＜3”，但“a＜3”可得出“a＜5”，“a＜5”是“a＜3”的必要条件，正确．

答案：②④

9．(2013年郑州模拟)下列说法：

①“∃x∈R,2x>3”的否定是“∀x∈R,2x≤3”；

ππ②函数y＝sin2x＋3sin6－2x的最小正周期是π；

③命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，则f′(x0)＝0”的否命题是真命题；

④f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x>0时的解析式是f(x)＝2x，则x<0时的解析式为f(x)＝－2－x.其中正确的说法是________．(写出所有正确结论的序号) 解析：对于①，“∃x∈R,2x>3”的否定是“∀x∈R,2x≤3”，因此①正确；ππππ对于②，注意到sin6－2x＝cos2x＋3，因此函数y＝sin2x＋3sin6－2x＝ππ12π2ππsin2x＋3·cos2x＋3＝2sin4x＋3，则其最小正周期是4＝2，②不正确；对于③，注意到命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，则f′(x0)＝0”的否命题是“若函数f(x)在x＝x0处无极值，则f′(x0)≠0”，容易知该命题不正确，如取f(x)＝x3，当x0＝0时，③不正确；对于④，依题意知，当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2－x，因此④正确．综上所述，其中正确的说法是①④. 答案：①④

三、解答题

110．给出命题：已知a、b为实数，若a＋b＝1则ab≤4，判断其逆命题、否命题、逆否命题的真假．

1解析：因为a＋b＝1⇒1＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2≥4ab⇒ab≤4，所以原命题

为真命题．从而逆否命题亦为真命题；

1若ab≤4，显然得不出a＋b＝1，故逆命题为假命题，从而否命题亦为假命题．

11．求方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负实数根的充要条件．

解析：方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负根．

1当a＝0时，x＝－2，适合条件．

当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，

则Δ＝4－4a≥0，∴a≤1，

当a＝1时，方程有一负根x＝－1. 1当a<1时，若方程有且仅有一负根，则x1x2＝a<0，

∴a<0. 综上，方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或a＝1. 12．(能力提升)求证：方程x2＋ax＋1＝0的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|＞3，这个条件是其充分条件吗？为什么？

证明：设x2＋ax＋1＝0的两实根为x1，x2，则平方和大于3的等价条件是

2Δ＝a－4≥0，22

22x1＋x2＝x1＋x2－2x1x2＝－a－2＞3，

即a＞5或a＜－5. ∵{a|a＞5或a＜－5a||a|＞3}，

∴|a|＞3这个条件是必要条件但不是充分条件．

[因材施教·学生备选练习] 1．(2013年郑州模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(4－x)＝f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，那么f(0)<0是函数f(x)在区间[0,6]上有3个零点的(

) A．充要条件

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：依题意得，f(4－x)＝f(x)＝f(－x)，即函数f(x)是以4为周期的函数．因

此，当f(0)<0时，不能得出函数f(x)在区间[0,6]上有3个零点，如此时f(2)<0，结合该函数的性质分析其图象可知，此时函数f(x)在区间[0,6]上不存在3个零点；反过来，当函数f(x)在区间[0,6]上有3个零点时，结合该函数的性质分析其图象可知，此时f(0)<0.综上所述，f(0)<0是函数f(x)在区间[0,6]上有3个零点的必要而不充分条件，选C. 答案：C 2．(2013年北京东城区质检)已知直线l过定点(－1,1)，则“直线l的斜率为0”是“直线l与圆x2＋y2＝1相切”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：显然当直线l的斜率为0时，直线l与圆x2＋y2＝1相切；当直线l与圆x2＋y2＝1相切时，除了直线l的斜率等于0外，还有直线l的斜率不存在的情况．所以“直线l的斜率为0”是“直线l与圆x2＋y2＝1相切”的充分不必要条件．故选A. 答案：A 3．(2013年哈师大附中模拟)“λ<1”是“数列an＝n2－2λn(n∈N*)为递增数列”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：若数列an＝n2－2λn为递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任333意的n∈N*都成立，于是有3>2λ，λ<2；注意到由λ<1可得λ<2；但反过来，由λ<2不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列an＝n2－2λn为递增数列”的充分不必要条件，选A. 答案：A