探究与发现 牛顿法──用导数方法求方程的近似解名师教学设计1

探究与发现 牛顿法—用导数方法求方程的近似解

巴中市通江第二中学 授课人：聂姚遥

一. 教材分析

本节课选自人教A版高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》探究与发现“牛顿法—用导数方法求方程的近似解”。属于拓展学生知识宽度和思维活跃的课程。在必修一中，我们学习了方程的根与零点的关系，以及第一次接触到了利用零点找方程近似解的二分法，学生初次有了利用数值去逼近方程的解的思想。在必修三中，教材安排了大量的案例让学生体会计算机在现代社会的强大功能。在数学选修1-1，教材安排了导数的几何意义和求切线方程，体会以直代曲的思想，为牛顿法球方程的近似解提供了理论依据。因此本节课为学生的思维发展提供了很好的空间和平台，作为一堂探究与发现的课，教师要注意引导学生用观察、联想、对比、化归等方法分析问题，寻找解决问题的思路. 二．学情分析

学生已经掌握了函数的零点，也学习了二分法求方程的近似解，理解了导数的几何意义，并能用导数求切线方程，具有一定的推理能力、运算能力的能力，但以直代曲的微积分思想不太熟稔，学生在探求牛顿法原理的过程中容易产生障碍，教学时需要引导学生用切线去逼近零点这个过程。同时由于教学条件的问题，大部分的计算机工作须由教师实现，确也算遗憾。

三. 教学目标

1. 知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“牛顿法的公式”，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能. 2. 过程与方法：通过牛顿法的探究过程，体会近似代替精确。逐步培养学生学会分析问题、解决问题、合作交流的能力；

3. 情感态度：通过课题的设计，增强学生的探究、应用意识，了解更多数学文化，激发学生的学习积极性. 体会数学在其他领域的价值. 四．教学重、难点

1. 重点：牛顿迭代的迭代思想和原理，用牛顿法求方程的近似解的初步应用. 2. 难点：探究过程的组织和适当引导. 五. 教法、学法

（一）忆古观今，引发兴趣

由于生产生活的需要，人们在很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题。而在17世纪牛顿就给出了高次方程的一种数值求解办法——牛顿法。

【设计意图】从数学的发展出发，自然地引出问题，让学生感知数学来源于生活，并应用于生活，激发学生的学习兴趣。

（二）探究归纳，提出猜想

首先选择一个方程。x3+2x2+10x-20=0. 问题1：方程的解还可以看做什么？

预案：

从函数的观点看,方程x32x210x200的根就

是函数fxx32x210x20的零点.从图形上看,

一个函数的零点r就是fx的图象与x轴的交点横坐标。

【设计意图】从零点的角度去转换方程求近似解问题。

问题2：如何求r的值呢？

提示：在几何画板中放大r附近的图像。

预案：用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线，用切线与x轴交点横坐标近似代替r。

【设计意图】回顾以直代曲，为接下来切线做铺垫。

问题3：如何选取切线起始点？

提示：在几何画板中观察图像。

预案：离零点越近越好，通过几何画板精确图像选取一个比较近的点。

【设计意图】培养学生观察能力，分析问题能力。

问题3：如果第一条切线与x轴交点横坐标精确度不够怎么继续选点，使精确度提高？

提示：在几何画板中拉动最初选点，形成动态，观察切线变化。

预案：第一条切线与x轴的交点，可以作为下一个曲线上点的横坐标。

【设计意图】体会牛顿法迭代过程。

问题4：如何计算最终所需交点的横坐标？

提示：切线方程。

预案：接下来的任务是计算

xn.我们知道,fx在点x0处切线的斜率是f'x0,

因此切线方程为yfxf'xxx.fx如果f'x00,那么,切线与x轴的交点是x1x0'0.fx0我们知道,fx在点xn1处切线的斜率是f'xn1,因此切线方程为yfxn1f'xn1xxn1.O000yrx3x2x1x0x如果f'xn10,那么,切线与x轴的交点是xnxn1fxn1.'fxn1

牛顿法公式:如果f'xn10,那么xnxn1fxn1.'fxn1

【设计意图】本环节由师生共同探究，让学生根据已有的经验去推导一般情况下的结论，符合学生的思维发展规律。通过各种方法的证明和教师适当的点评、指导，起到突出本节课重点的作用。在探究牛顿法过程中，也培养了学生严谨的逻辑思维能力。（三）小试牛刀，体验迭代对于给定的精度z00.02,我们可以根据上述公式,求出方程x32x210x200的近似解。取x04

解：令f(x)x32x210x20则f(x)3x24x102.4324x1x0zx1x00.392x0f(x0)f(x0)

f(x1)x2x11.6175f(x1)

f(x2)x3x21.385689135f(x2)

zx2x10.335x1zzx3x20.143x2x4x30.012x3f(x3)x4x31.3688121321

f(x3)此时zz0,从所以方程的一个近似解为x1.3688121321

【设计意图】通过求课本预设方程的近似解，让小组合作计算，不仅培养学生合作探究能力、表达能力，还培养了观察能力、归纳能力，并由此提出猜想，使学生懂得如何探究问题，从一般情况迁移到特殊情况下的讨论，为下个环节能突出重点起到铺垫作用。

问题5：如何使计算更为简单？

提示：重复计算

预案：编程序

给定精度z0和初始值根据牛顿法公式计算当前值x1x0令x0x12x302x010x0203x204x010计算当前精度:zNox1x0x0zz0Yesx1为方程的近似解求解结束

【设计意图】从程序中展现出牛顿法的算法简单特点，并与之前的旧识相结合，体现数学在现代生活中的价值。

思考

1.

不同的初始值对求方程的近似解有影响吗？如果要，影响在什么地方？

提示：在对应几何画板中选择的新的函数做拉动，展现不同位置的情况。

预案：

a.初始值不同迭代次数不一样

b.如果近似解不唯一，初始值的不同可能得到的解也不同

c.某些初始值的选取无法用牛顿法迭代近似解

2.还知道其他求方程近似解的方法吗？你认为牛顿法的优点和缺点是什么？

提示：零点存在定理；用excel展示二分法处理课例方程近似解

预案：二分法。（那如果我们用二分法来处理今天的这个方程可以吗？如果可以怎么处理呢？选取一个零点所在的区间，计算端点值和中间值，根据正负进一步缩短区间范围，直到达到精确度为止。

预案：优点：速度较快，算法简单，精度高；

缺点：对初始值的选取很敏感。

【设计意图】通过对自主探究的新思考，培养学生合作探究能力、表达能力，还培养了观察能力、归纳能力，并由此提出猜想，使学生懂得如何探究问题，从特殊情况迁移到一般情况下的讨论。

（四）课堂小结，回顾反思

数学的魅力就在于，哪怕18世纪就证明了五次及以上多项式方程没有公式解，随着时间的发展，这个证明并不会被推翻，不像技术一样会日新月异。但是牛顿所发现的方法，仍旧不断的为各个学科提供着源源不绝的生机和活力。