3.1.3 导数的几何意义教学实录与评析

《导数的几何意义》

教学设计

授课教师：数学组 冯小辉 授课课型：新授课

授课班级：高2016级13班 授课时间：2017年11月6日

一、教学分析设计

【教材分析】

从教材的设计意图看

本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）选修1-1第三章第一节第三课时。教材前两节内容是导数的几何意义的上位概念——平均变化率，瞬时变化率，并采用极限来定义了函数在某一点处的导数，从“数”的角度定义了某一点处的导数就是该点的瞬时变化率；导数的几何意义正是导数概念的下位概念，是从导数“形”角度来体现，有助于进一步从几何意义的角度来理解导数的含义与价值；导数的几何意义的学习又是下位内容——常见导数的计算，导数在研究函数中的运用及研究函数曲线与直线的位置关系的基础。 从知识的作用看

导数的几何意义能够很好地从“形”的角度帮助学生较为深刻地理解导数的定义，达到“数”与“形”的有机结合；同时导数的几何意义又是相关知识在几何学、物理学方面的迁移，是培养学生学数学、用数学的意识的良好载体。通过导数几何意义的学习，能使学生对曲线的切线的含义在思维层次方面有所提升，它不是从公共点的个数的角度定义切线，而是由割线“无限逼近”曲线的切线，割线趋近于确定的位置定义为切线，真正反映了切线的直观本质，把曲线的切线上升到新的思维层面上，这有助于提升学生的思维层次。

从数学教育的角度看

学生经历自己作图直观感知和GeoGebra软件动画演示割线“逼近”成切线的过程，能真切感受函数图象的“切线”的生成过程，较为深刻理解函数图象的切线的意义，体会由“量变”到“质变”的心路历程，对学生的“逼近”思想的渗透留下一生都难以磨灭的印象。

【学生分析】

通过前两节对函数平均变化率和导数概念的学习，学生对导数的概念已经有了初步的认识，理解了某一点处的瞬时变化率就是该点处的导数，体会了导数的思想和实际背景。由于本节课对“数”与“形”的'关联体验、在割线无限逼近切线的过程中蕴含的以直代曲思想以及理解导数f(x0)就是f(x)在xx0处的切线斜率的几何意义都有一定的难度。我班虽是文科班，经过近一年多的数学学习，学生初步已具有了探究问题和抽象概括的能力，相信在教师进行适切的评价，借助信息技术动态演示引导，学生能较好体验“无限逼近”的思想和从“形”的角度理解导数的概念从而突破难度。

【目标分析】

结果性目标：理解导数的几何意义，会求简单函数在某点处的导数。

体验性目标:

在探究变化趋势的活动中，体验曲线、割线、切线的关联，体验割线斜率、切线斜率与导数的关联；体验无限逼近的数学思想、数与形的关联。

【技术分析】

教学媒体

黑板

平板电脑

GeoGebra软件

【核心问题分析】

数学是数与形的学科，函数更是数与形的完美结合体。本节课通过回顾导数的实际意义和数值意义，由数到形，自然引出从“形”的角度研究导数的几何意义，以此激发学生用图象探究导数几何意义的欲望，从而通过核心问题调动、推进学生的活动。

学生仍从熟悉的“高台跳水”引例着手研究，在图象上任意选取一个定点P和一个动点Pn，作出割线PP发现点P割线PP实质上运用了逼近的思n并观察它的变化趋势，n趋近于点P时，n趋近于确定的位置，想定义了曲线在点P处的切线，这种定义真正反映切线的直观本质。再者在探究PPn的变化趋势很自然体验到了割线PPn斜率无限逼近在定点P的切线斜率，也与上一节的“平均变化率——瞬时变化率”的研究思想建立了知识的关联，平均变化率的几何意义就是割线的斜率，当P平均变化率过渡n逐渐趋近于P时，到瞬时变化率即割线的斜率过渡到切线的斜率，这样学生能从形的角度深刻体验到导数的几何意义——

1 功能

板书教学流程、重要要点以及用于学生演板

展示教学环节，展示动画、图片，让学生感受更加直观

动态演示，体验无限逼近的过程

“某点的导数是曲线上该点处切线的斜率”。因此学生经历探究“导数的几何意义”的过程不仅是将学生的动手实践与抽象思维的有机结合，更是一个体验“无限逼近”思想的完整过程，充分体验了曲线、割线、切线的关联、数与形的关联以及割线斜率、切线斜率与导数的关联，让学生感受到数学知识是水到渠成的。然后学生展示交流，教师适时恰当的进行评价，学生借助GeoGebra软件动态展示进行几何验证，再次体验无限逼近的过程，本节课的创新点：借助平板技术在对图象局部放大的过程中感受

“以直代曲”的数学思想，实质上是对无限逼近思想进行了二次体验。

核心问题：自由选取图象上的一个定点P和一个动点Pn，作图并探究当Pn沿曲线趋近于点P时，割线PPn、割线PPn斜率的变化趋势，阐明其探究过程。

二、教学实施设计

【教学环节】

教学环节

学生活动

教师活动

设计意图

（时间）

理解核心问题，明确学习任务，回顾导数的实际意义和数值意义，由数到进一步思考用什么知识和方法完成任务。

提出问题

(3分钟) 形，自然引出从图象的角度研究导数的几何意义。

出示核心问题：自由选取图象上的一个定点P和一个动点Pn，作图并探究当Pn沿曲线趋近于点P时，割线PP割线PPn、n斜率的变化趋势，阐明其探究过程。

个人探究：

学生作图并探究几何直观感知割线PP割线PPn、n斜率的变化趋势。

小组讨论：

解决问题

(21分钟) 交流个人探究成果。

成果交流；

陈述小组的解决方法，对他人的思维过程进行评价和修正内化。

学生借助GeoGebra软件动态演示,进行几何直观验证。

引导、点评展示部分学生解决方案，师生补充和共同评价。

收集解决方案。

巡视、释疑、评价：

引导学生几何直观感知了割线到切线、割线斜率到切线斜率的无限逼近的过程。

让学生通过作图，在探究变化趋势的活动中体验无限逼近的思想，初步体验曲线、割线、切线的关联、以及割线斜率、切线斜率与导数的关联。

营造主动思考的思维环境，激活学生思维，明确本节课的学习任务，激发出学习兴趣和欲望。

在分享中再次体验无限逼近的思想，提升学生总结归纳的能力。

再次体验无限逼近的过程，在释疑,引导学生体验以直代曲的数学思想。

体验中感受以直代曲的数学

思想。

在充分体验的基础上，将本节课的知识系统化，规范化。强化“数与形”的关联、“无限逼近”的思想。

反思提升

(8分钟) 基于学生的活动体验共同反思：

1、切线的定义

2、导数的知识结构（见板书）

出示运用反馈练习，适时给予提示与评价。

运用反馈

(8分钟) 运用本节课体验的割线斜率、运用反馈习题：

切线斜率与导数的关联完成反馈练习。

探究进一步体验知识的关联和思想的关联，进一步深化和理解导数的概念。

f(x)x3在x0处的导数值，并阐明其探究过程。

2

【评价预设】

1、提出问题环节：回顾导数的实际意义和数值意义，由数到形，自然引出从图象的角度研究导数的几何意义，顺势提出核心问题，情境营造虽然简单，却能激发出学习兴趣和欲望。

2、解决问题环节：搜集学生典型的解题方案，在展示过程中首先让学生自评和修正，之后教师再从知识、方法、思想的角度进行评价，从学科思维方面展开评价。学生作图可直观上感受到由割线逼近切线、产生切线的过程，体验平均变化率过渡到瞬时变化率即割线的斜率过渡到切线的斜率的无限逼近思想。学生借助GeoGebra软件动态演示,进行几何直观，再次直观感知无限逼近的思想从而理解导数的几何意义和以直代曲的重要思想从而突破难点。在解决问题环节彰显了教师的专业引导功能。

3、反思提升环节：引导学生回顾本堂课中的知识与思想方法的活动过程，对学生的真实活动、曲线、割线、切线的关联及割线斜率、切线斜率与导数的关联的凸显情况，进一步对学生体验积淀的引导性评价。

4、运用反馈环节：为强化学生对割线斜率、切线斜率与导数关联的体验，将本节课对学生体验的检测点确定于此：为了区别出学生对前述关联的体验深入程度，选择了运用反馈的检测题，对学生的解题思路，课堂上的评价应紧扣关联，凸显体验强化功能。

【板书设计】

3.1.3导数的几何意义

一、

提出问题

核心问题：自由选取图象上的一个定点P和一个动点Pn，作图并探究当Pn沿曲线趋近于点P时，割线PPn、割线PPn斜率的变化趋势，阐明其探究过程。

二、

解决问题

1.割线PPn的变化趋势

PT

割线PPn 切线

2.

割线PPn斜率的变化趋势

三、反思提升

1、切线的定义

2、导数的网络结构

副板书

（步骤）

k割limyΔy

x0

lim=k切

Δ0Δxxxf(xpx)f(xp)x0f（xp)

四、运用反馈

学生板书解答过程及师生共同订正

【教学流程】

3

三、教后评价反馈

【信息搜集】

课后搜集了全班学生的运用反馈练习48份。对搜集到的48份学生运用反馈练习基于关联体验目标达成情况评判标准进行了批阅和分类，并按照等级标准标注了等级；在此基础上完成了《四川大学附属中学体验性目标达成点检测表》（请见附于教学设计之后）。

【自我评价】

基于本节课的核心问题设置较为恰当，体验到了恰当设置核心问题的重要性和必要性。因此较好地达成了体验性目标和结果性目标，整节课的完成是比较成功的。

(1)学生活动充分，体验层层深入。作为一节高一探究课，更关注学生的“学”。放手把时间交还给学生，学生先后经历了独立探究、小组合作、全班展示交流三个活动环节。由于学生活动充分所以在全班展示环节，学生的展示有内容，有层次，有高潮。

(2)教师的评价实施较好和学生感受意义关联较好。

根据《核心问题教学评价表》，按照核心问题教学形态评价和实质评价的一级、二级、三级指标，结合结果性目标，体验性目标尤其关联体验目标，根据学生课堂中的具体表现和收集整理的资料，反思判断自己的教学，对核心问题教学文化的自评情况如下表：

核心问题教学评价表

评价者信息

姓名

冯小辉

学科

数学

学校

成都十二中

公开课信息

教师

冯小辉

学科

数学

时间11.06

班级及其特征

文科实验班

课题名称

导数的几何意义

核心问题：自由选取图象上的一个定点P和一个动点P作图并探究当P割线PPn，n沿曲线趋近于点P时，n、割线PPn斜率的变化趋势，阐明其探究过程。

评价指标

评价目标

一级指标

二级指标

三级指标

8 8 7 8 7 7 8 8 8 7 8 7

选择一个表现突出的二级指标，在相应三级指标引导下，以现场学生表现为4 评价结果

内含学科问题和学生活动方式

核心问题

问题情景与真实生活密切相关

利于活动体验

能引发新知识、新方法的生成

两类目标正确全面

教学目标

关联体验目标恰当

价值引导恰当

目标价值引导显现

教学环节

环节内容合理充实

完整合理落实

学生活动时间充分

教学要素

技术促进活动形式内容

相互匹配促进

学科特点突出氛围浓郁

问题目标环节两两匹配

教学环节清晰完整

实现活动体验中的学习与发展

具有核心问题教学形态

每项指标最高评8分

合计 91 分

学实质

具有核心问题教课堂与现实世界有恰当关联

拓展学习视野

有基于缄默知识的问题解决

有缄默知识运用的追踪剖析

有真实而且完整的实践活动

投入实践活动

能够全身心地浸渍于活动中

活动的内容结果均丰富深入

有核心问题的深层意义感受

依据，于本表的第二页写感受意义关联

有以知识为中心的关联感受

出150字以上的简要评有以个人为中心的关联感受

价。

有实质性反思活动的开展

自觉反思体验

有课堂新因素的追踪利用

有体验的交流与改善重构

乐于自我的表达与认真的倾听

乐于对话分享

乐于合作中成果与思路的分享

有宽容的对话氛围和多向交流

认可体验评价

认同体验评价

参与体验评价

利用体验评价

核心问题教学实质的简要评价（包括发展性建议）：

本节课凸显了核心问题教学中“感受意义关联”这一教学实质。

1.核心问题深层意义感受：在回顾导数概念的实际意义、数值意义，引从形的教导研究导数的几何意义的必要性。核心问题设置精准，能促进学生的自主探究，自由选取图象上的一个定点P和一个动点Pn，作图并探究当Pn沿曲线趋近于点P时，割线PPn、割线PPn斜率的变化趋势，这样学生的活动自然在意义关联上进展的。

2.有事物间关联的感受运用：曲线、割线、切线的关联及割线斜率、切线斜率与导数的概念自身存在一定的关联，学生在活动基础上体验了该点处的导数可以该点处切线的斜率，充分体验了内在的关联；

3.学生敏感于意义的发现强化：这也是本节课的亮点，学生在平板上探究时，突然发现无限放大的情况下，曲线也发生了变化，“无限放大”实际上是“无限逼近”的过程，当动点无限靠近定点时，近似于重合的时候发现曲线产生了“直线化”的倾向，发现直线可以近似用曲线代替，这样突破了“以直代曲”数学思想的难点。这也得益于学生对新因素的敏感与发现。

【反馈调整】

体验性目标点检测表

基本

执教教师

冯小辉

学 科

数学

信息

年级

班级

高二13班（文科）

上课时间

2017年11月 6日

课题名称

导数的几何意义

核心问题

自由选取图象上的一个定点P和一个动点P割线PPn，作图并探究当Pn沿曲线趋近于点P时，n、割线PPn斜率的变化趋势，阐明其探究过程。

教学

结果性目标

理解导数的几何意义，会求简单函数在某点处的导数。

5

目标

体验性目标

在探究变化趋势的活动中，体验曲线、割线、切线的关联，体验割线斜率、切线斜率与导数的关联；无限逼近的数学思想、数与形的关联。

检测点

割线斜率、切线斜率与导数的关联的体验

检测

题目

探究f(x)x3在x0处的导数值，并阐明其探究过程。

A 对割线斜率、切线斜率与导数关联的体验深入。能从“形”角度探究，并从“数”的角度进行验证，都采用“无限逼近”的思想得出正确结果。

B 对割线斜率、切线斜率与导数关联的体验较为深入。只是从“形”的角度采用“无分类

限逼近”的思想得出正确结果。

标准

C对割线斜率、切线斜率与导数关联的体验有所体验。仅从“数”的角度采用“无限逼近”的思想得出正确结果。

D 对割线斜率、切线斜率与导数关联的体验不足。不能从从“数”与“形”的角度任一方面探究。

分类等级

学生人数（总人数48人）

百分比

检测

A 18 37.5% 统计

B 19 39.5%

C 8 16.7% D 3 6.25% 1、从学生的完成情况中可以看到，有77%的学生从形的角度即“导数的几何意义”探究出f(x)x3在x0处的导数值，准确阐明其探究过程，仅有23%的学生只能体验从“数”的角度采用“无限逼近”的思想得出正确结果。因此，本节课的体验性目标达成较好。若在上课时在对学生的反思提升环节的评价更为到位、具体、充分些，学生在课后此检测题的完成情况应该会更好些，因此在课堂上教师有的放矢的针对性评价对学生而言是非常重要和有意义的，更应该引起充分的重视。

2、从学生的检测题中看到有19位同学得到B级，得到B级的同学其实是没有找检测

到将“数”与“形”关联起来，未将上一节课导数的概念关联起来，在下一新授课的分析

时候还需要升华知识与方法。

3、得C级和D级的学生说明在课堂上收获不是很大，说明在解决环节中未充分体验曲线、割线、切线的关联、数与形的关联以及割线斜率、切线斜率与导数的关联，而其背后的原因还是对“数”与“形”的关联体验不深刻。这也说明他们对这种以活动体验为载体的课堂还不适应，在以后的教学活动中还应多加强训练，积极主动的参与课堂活动和体验。教师更有在反思提升环节对数与形的相互转化中进行适当的评价，课后必要时度学生提供个性化帮助，促进点线对称运用的熟练度和思维度，这也需要在后面的教学中加以改进。

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体验典型

实例

这两位同学能从“形”角度探究，并从“数”的角度进行验证，都采用“无限逼近”的思想得出正确结果，说明对割线斜率、切线斜率与导数关联的体验深入。

针对基于信息收集的检测分析来看，第二天，我将以正确率及关联体验目标达成检测

分类这两种不同标准批改后的学生运用反馈练习发给学生，并于课堂上主要基于后一反馈

标准的情况，作了全班讲评，尤其对检测后对C档的8位学生和D档的3位同学进行了重点反馈，对于归为D类的3位同学进行了个别交流，再从形的角度去研究和思考，帮助他们真正建立起“数”与“形”的关联。

注意：请将所有学生的检测答卷附于表后。

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