第四章 圆与方程（通用）优秀教案说课稿

●教学目标

1.掌握双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及其推导方法，能根据条件确定双曲线的标准方程；并能根据双曲线的标准方程确定其焦点的位置.

2.培养分析能力、归纳能力、推理能力.

3.通过对双曲线定义与椭圆定义的比较，双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较，双曲线与椭圆a、b、c关系的比较，掌握两种曲线的定义、标准方程及a、b、c关系的区别，并认识到比较法是认识事物，掌握其实质的一种有效方法.

●教学重点

双曲线的定义和标准方程.

●教学难点

双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组

●教学方法

以“问题引导，探究交流”为主，兼容讲解、演示、合作等多种方式.

在前面学过椭圆的有关内容，对于双曲线的内容只要与椭圆对照比较，教师再因势利导给予必要的提示、点拨与帮助，学生完全可以掌握.

●教学过程

一、复习引入

1、椭圆的第一个定义是什么？

平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点.两焦点的距离叫椭圆的焦距.

2、椭圆的标准方程是什么？

你能根据椭圆的标准方程确定其焦点究竟在哪个坐标轴上吗？

焦点在X坐标轴上：

(a>b>0)，

焦点在Y坐标轴上：

(a>b>0)

其中

3、问题：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程又是怎样的呢？

平面内与两个定点F1、F2的距离之差为非零常数的点的轨迹是什么曲线呢？

二、讲授新课

1．

双曲线的定义：

(1)绘图演示（2）分析原理（3）归纳定义（注意与椭圆比较）

（1）

绘图演示：（几何画板或flash）

（2）

分析原理:先引导学生通过三种过程得到双曲线概括双曲线的定义。

通常不太准确，问其他同学有不同意见吗？引导学生讨论？

问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？

请学生回答，不能．强调“在平面内”．

问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？

请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|；

当点M在双曲线左支上时，|MF1|＜|MF2|．

问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？

请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正确表示为||MF2|-|MF1||．

问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？

请学生回答，应小于|F1F2|且大于零．

当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；

当常数＞|F1F2|时，无轨迹．

当常数等于零，轨迹为线段F1F2的中垂线

（3）归纳定义

在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：

平面内到两定点

的距离的差的绝对值为常数（小于

）的动点的轨迹叫双曲线。即

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距

数学简记：

（

）

问：（1）只说“差”不行吗？为什么要加“绝对值”三个字呢？

只说差表示双曲线的一支，加上“绝对值”三个字，才能表示整条双曲线.

（2）可见双曲线有两支，丢掉任何一支都不是完整的双曲线，

那么，双曲线的定义中为什么要强调常数——差的绝对值小于|F1F2|呢？

如果差的绝对值即常数等于|F1F2|，那么图形为两条射线

；

如果差的绝对值即常数大于|F1F2|，那么无轨迹.

如果差的绝对值即常数等于零

，那么图形为线段F1F2中垂线

2．双曲线的标准方程：

由双曲线的定义，可以知道它的基本几何特征，但对于双曲线还具有哪些性质，我们还一无所知，所以仿照椭圆，我们需要求出双曲线的方程。

（1）双曲线的标准方程的推导：①建系；②设点；③列式；④代换；⑤化简；

根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程

（引导学生回答，尽量发挥学生主动性，活跃课堂气愤。

取过焦点

的直线为

轴，线段

的垂直平分线为

轴

设P（

）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2 （

）

则

，又设M与

距离之差的绝对值等于2 （常数），

，

（化简过程由学生扮演）

化简，得：

，

由定义

令

代入，得：

，设疑换元的目的？是为了表达形式更简单

两边同除

得：

（a>0,b>0），即为双曲线的标准方程。

它所表示的双曲线的焦点在

轴上，焦点是

，其中

若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，

如焦点在

轴上，则焦点是

，

问：双曲线的标准方程又该怎样求？

生：用类比法：将

互换，得到

（a>0,b>0），此也是双曲线的标准方程

（2）．双曲线的标准方程的特点：两种标准方程的比较(引导学生归纳)：

＜１＞双曲线的标准方程双曲线的标准方程

从方程来确定a,b和焦点位置：“椭圆看大小，双曲线看符号”

方程形式：

位置特征：焦点在x轴上

焦点在y轴上

焦点的中点在原点（中心在原点）

数量特征：

（

）

＜２＞思考:双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有什么异同？

（双曲线的图形有两个分支，以焦点在

轴上的双曲线为例：

若M点在双曲线的右支上，则

（

），显然

若M点在双曲线的右支上，则

（

），显然

当

= 时，M点的轨迹是以F1或F2为端点的两条射线

当

＞

时，Ｍ点没有轨迹）

双曲线与椭圆之间的区别与联系L通过列表反映区别）

①||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a这个常数要大于０且小于

．②双曲线有两支③

且a与b的大小关系:可以为

④判断焦点所在的位置的方法

焦点的位置:

从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母

、

项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在

的轴；

问：思考:能否根据双曲线的标准方程判断焦点的位置？可否仿照椭圆的方法呢？

双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，

即

项的系数是正的，那么焦点在

轴上；

项的系数是正的，那么焦点在

轴上

但有个前提，必需在标准方程的基础上才行。举个反例

如

，焦点就不在X轴上

３.例题分析：

练一练: 求下列曲线的焦点坐标及a(1)

(2)

x2 - 3 y2 = 3

(3)

例1. 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)双曲线上一点P到焦

点的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.

解:

根据题意可得双曲线焦点在x轴上，所以可设标准方程

（a>0,b>0）

∵

2a=6 , 2c=10

∴

a=3

,

c=5

∴

b2 = 52 –

32 = 16

∴

双曲线的标准方程为：

再思考:

如果把这里的数字6改为12,其他条件不变,会出现什么情况？

结论：因为2a=12,2c=10,且2a＞2c,

所以不存在这样的双曲线

怎样变换条件可使最后有轨迹，但是两条射线？

生：如果把这里的数字6改为10,其他条件不变就行

练习1（1）已知方程

表示双曲线，求m的取值范围.

分析:由(2+m)(m+1)<0

得-2

变式一:方程

表示双曲线时,则m的取值范围

或

变式二: 方程

表示焦点在y轴的双曲线时,求m的范围.

说明:先化为标准形式,再对分母讨论

练习2：证明椭圆

与双曲线x2-15y2=15的焦点相同.

三、课时小结

1、双曲线的定义

2、双曲线的标准方程：（1）a、b、c的关系，（2）焦点位置的确定方法（要与椭圆对照，比较其异同点）

3、求双曲线标准方程：待定系数法.

提问：双曲线标准方程的系数有什么特征？

结论：x2、y2项的系数一正一负，右边为1，a不一定大于b。

提问：双曲线标准方程中，x2、y2项的系数符号与该双曲线焦点所在位置有什么关系？

结论：正项定焦轴。

四、课后作业

1、P108课后练习1，2，4

反馈练习: