1.2.1 中心投影与平行投影获奖说课稿

1.2

空间几何体的三视图和直观图

1.2.1

中心投影与平行投影

1.2.2

空间几何体的三视图

目标定位

1.了解中心投影和平行投影的意义.2.理解三视图画法的规则，能画简单几何体的三视图.3.能识别三视图所表示的空间几何体.

自

主

预

习

1.投影

(1)投影的定义

由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面. (2)投影的分类

(3)当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影都具有下述性质：

①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比. 2.三视图

(1)定义：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图，三视图是正投影.

(2)基本特征：一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样.

即

时

自

测

1.判断题

(1)正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度.(√) (2)一个几何体的正视图和俯视图高度一样，正视图和侧视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样.(×) 提示

(2)一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样. 2.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是(

) A.球

C.正方体

B.三棱锥

D.圆柱

解析

不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选D. 答案

D 3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(

)

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

解析

①的三个视图都是相同的，都是正方形；②的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同；③的三个视图各不相同；④的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同.故选D. 答案

D 4.一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是________(填序号).

①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体. 解析

线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点.

答案

②⑤

类型一

中心投影与平行投影

【例1】

下列说法中：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线.其中正确说法的个数为(

) A.0

B.1

C.2

D.3 解析

由平行投影和中心投影的定义可知①正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，②不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线；③不正确. 答案

B 规律方法

判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断. 【训练1】

下列命题中，正确的是(

) A.矩形的平行投影一定是矩形

B.梯形的平行投影一定是梯形

C.两条相交直线的投影可能平行

D.如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点

解析

平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影改变几何图形的形状，因而A，B不正确.两条相交直线的投影不可能平行，即C错.根据平行投影的性质，知D正确.故选D. 答案

D 类型二

画空间几何体的三视图(互动探究)

【例2】

画出图中正四棱锥和圆台的三视图.(尺寸不作严格要求)

[思路探究] 探究点一

画三视图时，三视图的排列方法如何？

提示

画三视图时，一般地，以正视图为准，侧视图在正视图的正右方，俯视图在正视图的正下方. 探究点二

三视图的画法规则是什么？

提示

三视图的画法规则如下：

(1)正、俯视图都反映物体的长度——长对正；

(2)正、侧视图都反映物体的高度——高平齐；

(3)俯、侧视图都反映物体的宽度——宽相等. 解

正四棱锥的三视图如图所示：

圆台的三视图如图所示：

规律方法

画三视图应遵循的原则和注意事项：

(1)务必做到“长对正，高平齐，宽相等”.

(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方.

(3)在三视图中，要注意实、虚线的画法.

(4)画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性. 【训练2】

如图是截去一角的长方体，画出它的三视图.

解

物体三个视图的构成都是矩形，长方体截去一角后，截面是一个三角形，在每个视图中反映为不同的三角形，三视图如图.

类型三

由三视图还原空间几何体

【例3】

根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状.

解

图(1)对应的几何体是一个六棱锥，图(2)对应的几何体是一个三棱柱，则所对应的空间几何体的图形分别为：

规律方法

由三视图还原空间几何体的步骤：

【训练3】

若将本例3(1)中的三视图改为如下三视图，试分析该几何体结构特征并画出物体的实物草图.

解

由三视图可知该几何体为四棱锥，对应空间几何体如右图：

[课堂小结] 1.理解平行投影和中心投影的概念时，可以从一束光线去照射一个物体所形成的影子，研究两者的不同之处.另外应注意平行投影的性质，尤其注意图形中的直线或线段不平行于投影线的情况. 2.空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质，由空间几何体可画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间的相互转化，可以培养我们的几何直观能力和空间想象能力.

1.下列说法正确的是(

) A.任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关

B.任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关

C.有的物体的三视图与物体的摆放位置无关

D.正方体的三视图一定是三个全等的正方形

解析

对于A，球的三视图与物体摆放位置无关，故A错；对于B，D，正方体的三视图与摆放位置有关，故B，D错；故选C.

答案

C 2.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(

)

A.三棱锥

B.三棱柱

C.四棱锥

D.四棱柱

解析

如图，几何体为三棱柱.

答案

B 3.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的正视图是边长为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图的面积为________.

解析

由正视图可知三棱柱的高为4，底面边长为4，所以底面正三角形的高为23，所以侧视图的面积为4×23＝83.

答案

83 4.画出如图所示空间图形的三视图(阴影部分为正面).

解

如图所示.

基

础

过

关

1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是(

)

A.棱柱

C.圆柱

B.棱台

D.圆台

解析

先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体.

由俯视图是圆环可排除A，B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C，故选D. 答案

D 2.已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是(

)

A.上部是一个圆锥，下部是一个圆柱

B.上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱

C.上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱

D.上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱

解析

由几何体的三视图可知，该组合体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱. 答案

A 3.某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(

)

解析

由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D. 答案

D 4.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________.

解析

三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4. 答案

2

4 5.图①为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由______块木块堆成；图②中的三视图表示的实物为______.

解析

①中下层有3块木块，上层有一块木块，共4块木块.

答案

4

圆锥

6.如图所示的螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体，试画出它的三视图.

解

三视图如图所示.

7.已知一个几何体的三视图如图，试根据三视图想象物体的原形，并试着画出实物草图.

解

由三视图知，该物体下部为长方体、上部为一个与长方体等高的圆柱，且圆柱的下底面圆相切于长方体的上底面正方形，由此可画出实物草图如图.

能

力

提

升

8.用□表示1个立方体，用表示2个立方体叠加，用表示3个立方体叠加，那么如图所示，由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是图中的(

)

答案

B 9.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为(

)

解析

正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B、D，侧视图中小长方形在右上方，排除A，故选C. 答案

C 10.如果一个几何体的三视图如图所示，

其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为________. 解析

此几何体为一个正六棱锥，其顶点在底面上的正投影是底面的中心，由于正视图中△ABC是边长为2的正三角形，其高为22－12＝3，故侧视图中三角1形的高为3.又俯视图中各三角形均为正三角形，其边长为2BC＝1，故底面中心31到边的距离为2.故侧视图中三角形的底边长为3，故侧视图的面积S＝2×3×

33＝2.

3答案

2

11.如图所示是一些立体图形的视图，但观察的方向不同，试说明其可能是哪一种几何体的视图，并画出立体图形的草图.

解

从柱、锥、台、球和三视图各方面综合考虑. (1)是一个圆，可能为球的正视图、侧视图、俯视图，也可能是圆柱的俯视图，其直观图如下图中①所示. (2)是一个三角形，可能是棱锥、圆锥的正视图、侧视图，也可能是三棱柱的俯视图，其直观图如下图中②所示. (3)是一个矩形，可能为四棱柱的正视图、侧视图、俯视图，也可能是圆柱的正视图、侧视图，也可能是三棱柱的正视图、俯视图，其直观图如下图中③所示.

探

究

创

新

12.一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，试据图回答下列问题：

(1)该物体有多少层？

(2)该物体的最高部分位于哪里？

(3)该物体一共由几个小正方体构成？

解

(1)该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来. (2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排. (3)从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个.该物体一共由7个小正方体构成.