3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示主要内容及教案内容

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

一、教学任务及对象

1、教学内容分析 《空间向量的正交分解及其坐标表示》是选修2-1第三章第一节的内容，前面学生已经把平面向量及其加减和数乘运算推广到空间，本节内容从空间向量的正交分解出发，学习空间最重要的基础定理——空间向量分解定理，这个定理是立体几何数量化的基础，有了这个定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x,y,z）建立起一一对应的关系。 2、教学对象分析 本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了平面向量的基本原理，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但在把向量推广到空间中缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。 二、教学目标 依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：

1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。 2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等

思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。 3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，

不断拓展创新的学习习惯和品质。 三、重、难点分析 重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 四、教学策略 为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略： 1．教法分析 为了充分调动学生学习的积极性，采用“学、研、导、练”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣. 2．学法分析 本节课通过类比平面向量基本定理及坐标表示，推广到空间向量，让学生体会类比、推广思想，加深对向量的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力． 教学过程：

一、

复习引入：

使学生回忆平面向量基本定理及坐标表示，为推广到空间向量做准备。

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a＝1e1＋2e2。

（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）平面向量的正交分解及坐标表示：

1

二、启发引导 探究新知

探究任务一：空间向量基本定理

学生体会类比、推广思想，尝试、归纳、总结培养学生分析问题和解决问题的能力．

一、空间向量基本定理：

如果三个向量

a,b,c不共面，那么对空间任一向量

p

，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使pxaybzc.

任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，

对于基底{a,b,c都叫做基向量。

a,b,c},除了应知道a,b,c不共面, 还应明确：

1）

任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

2）

由于可视0

为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0

.

3）

一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。

练习：已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．

探究任务二：结合空间向量基本定理，类比平面向量正交分解及坐标表示，

2

单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用

e, e, e123

表示

引导

自主归纳

、学生体会类比、归纳思想，尝试、总结培养学生归纳总结能力．实现从正交分解到直角坐标系的转换。 给定一个空间坐标系和向量

p

,且设e, e, e1213

为坐标向量，由空间向量基本

有序数组( x, 定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使

p

= xe, +ye+ze23AB1

CN

1=(x,y,z)其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.

三、例题示范：

例1：平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=aAD=b,D1

y, z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作. pB

A

M

D

C

AA=c试用a，b,

c表示MN.

1分析:要用a,b,c表示MN只要结合图形,充分运用空间向量加法和数乘的运算律即可.

例2：已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP, OQ,

3

O

M

A

Q

B

P

C

N

练习：

1、在空间坐标系(o-xyz中，ABe12e23e2

e1、e2、e3分别是与x轴、

y轴、

z轴的正方向相同的单位向量)则

AB

的坐标为

。

2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为

，关于原点的对称点为

，关于X轴的对称点为

.

四、本课小结：

1、空间向量的坐标运算；

2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键：

首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系

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