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空间几何体的表面积与体积

一，知识点

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆

柱

圆

锥

侧面

展开图

圆

台

侧面

S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl 积公式

2.空间几何体的表面积与体积公式

名

称

表面积

几何体

柱

体

S表面积＝S侧＋2S底

(棱柱和圆柱)

锥

体

S表面积＝S侧＋S底

(棱锥和圆锥)

台

体

(棱台和圆台)

球

S表面积＝S侧

＋S上＋S下

S＝4πR2

S圆台侧

＝π(r＋r′)l

体

积

V＝S底h

1V＝S底h

31V＝(S上＋S下

3＋S上S下)h

4V＝πR3

3

2、求空间几何体体积的常用方法

(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．

(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．

(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．

3．几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；

②球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a. (2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 二、课前练习

1．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为(

)

A．1

1C.

31B．

21D．

6

(2015·高考陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(

) A．3π

B．4π

C．2π＋4

D．3π＋4 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

A．6

B．33 C．23

D．3 4．直角三角形三边长分别是3 cm、4 cm、5 cm，绕两直角边旋转一周分别形成两个几何体，则其侧面积分别为________、________. 5．一个棱长为2 cm的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为________cm3.

(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(

) A．1

B．2 C．4

D．8 (2)(2015·高考福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(

)

A．8＋22

C．14＋22

[解析]

(1) B．11＋22 D．15

如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为1r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，所以22(5π＋4)r＝16＋20π，所以r2＝4，r＝2.

(2)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．

直角梯形斜腰长为1＋1＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋122，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋222.

[答案]

(1)B

(2)B

三、典例

例1(1)某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为(

) 221＋5A．2＋π

21＋25B．2＋π

22＋5C．2＋(1＋5)π

D．2＋π

2(2)如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于(

)

A．34＋65 B．6＋65＋43 C．6＋65＋413

D．17＋65

例2(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

) 13π1A.＋2π

B．

367π5πC.

D．

32(2) （2））一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(

) 11A.

B．

8711C.

D．

65

例3.(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

2π4πA.

B．

332π4πC．8－

D．8－

33（2））已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．

例4

已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(

) 317A.

B．210 2

13C.

D．310 2

例5

如图，直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为(

) A．2

C.2

B．1 D．

2

2例6

（1））如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，则此几何体的体积为________．

（2））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

) A．12

B．18 C．24

D．30

四、小结

辨明两个易误点

(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．

(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．

五、作业

1．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为(

) 3A.π

B．2π

2C．3π

D．4π

2．如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为(

)

33

B．

12466C.

D．

1243．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(

) A.

A．12＋42

B．18＋82 C．28

D．20＋82 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

12A.＋π

B．＋π

3312C.＋2π

D．＋2π

335．已知某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为92，则a＝(

)

5A.

B．3 27C.

D．4 26．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(

) 81πA.

B．16π

427πC．9π

D．

4

97．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，且该六棱柱的体积为，底面周8长为3，则棱柱的高h＝________．

8．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3. 9.

如图，在三棱柱A1B1C1­ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1­ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.

10．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) 11.

如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．

12．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．

(1)求该几何体的体积V；

(2)求该几何体的表面积S.