2.2.4 平面与平面平行的性质教学设计一等奖

课

题：

1教学目的：

1.理解公理三的三个推论. 平面

2.进一步掌握“点线共面”的证明方法

3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平．

4．通过公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力．

教学重点：用反证法和同一法证明命题的思路．

教学难点：对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式． 授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入： 1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性

2．平面的画法及其表示方法：

①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画

②一般用一个希腊字母、、……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC等

3．空间图形是由点、线、面组成的

点、线、面的基本位置关系如下表所示：

图形

符号语言

文字语言（读法）

点A在直线a上

Aa

Aa

Aa

Aa点A不在直线a上

AAA

点A在平面内

A

点A不在平面内

Aba

abA

直线a、b交于A点

a

a

直线a在平面内

a

a

直线a与平面无公共点

aA

aA

直线a与平面交于点A



l

平面、相交于直线l

a（平面外的直线a）表示a或aA

4 平面的基本性质

公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内

A推理模式：AB． 如图示：

BAB应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．

公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．

公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线

A推理模式：Al且Al且l唯一如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上

公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．

公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

推理模式：A,B,C

不共线存在唯一的平面，使得A,B,C

应用：①确定平面；②证明两个平面重合

“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，

“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．

5 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形

二、讲解新课：

推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 已知：直线l，点A是直线l外一点. 求证：过点A和直线l有且只有一个平面

证明：（存在性）：在直线l上任取两点B、C，

∵Al，∴A,B,C不共线．

由公理3，经过不共线的三点A,B,C可确定一个平面，

∵点B,C在平面内，根据公理1，

∴l，即平面是经过直线l和点A的平面. （唯一性）：∵B,Cl，l，A，∴点A,B,C，

由公理3，经过不共线的三点A,B,C的平面只有一个，

所以，经过l和点A的平面只有一个

推理模式：Aa存在唯一的平面，使得A，l

推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面

已知：直线abP. 求证：过直线a和直线b有且只有一个平面

证明：（存在性）：在直线a上任取两点A，直线b上B，

∵abP，∴A,B,P不共线．

由公理3，经过不共线的三点A,B,P可确定一个平面，

∵点A,B,P在平面内，根据公理1，

∴a,b，即平面是经过直线a和直线b的平面. （唯一性）：∵abP，Aa,Bb，a,b，

∴点A,B,P，

由公理3，经过不共线的三点A,B,P的平面只有一个，

所以，经过直线a和直线b的平面只有一个

推理模式：abP存在唯一的平面，使得a,b

推论3

经过两条平行直线有且只有一个平面

已知：直线a//b. 求证：过直线a和直线b有且只有一个平面

证明：（存在性）： ∵a//b

∴由平行线的定义，直线a和直线b在同一个平面内，

即平面是经过直线a和直线b的平面. （唯一性）：取A,Ca，Bb，

∵a,b,a//b

∴点A,B,C不共线且A,B,C，

由公理3，经过不共线的三点A,B,C的平面只有一个，

所以，经过直线a和直线b的平面只有一个

推理模式：a//b存在唯一的平面，使得a,b

三、讲解范例：

例1

两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内

已知：直线AB,BC,CA两两相交，交点分别为A,B,C

CBA求证：直线AB,BC,CA共面

证法一：∵直线ABACA，∴直线AB和AC可确定平面，

∵BAB，CAC，∴B，C，

∴BC，即AB,BC,CA 即直线AB,BC,CA共面

证法二：因为A直线BC上，所以过点A和直线BC确定平面α．（推论1）

因为A∈α， B∈BC，所以B∈α．故AB α，

同理AC α，

所以AB，AC，BC共面．

证法三：

因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α． 因为A∈α，B∈α，所以AB α． 同理BC α，AC α，所以AB，BC，CA三直线共面．

问题：在这题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？

例2

在正方体ABCDA①AA1B1C1D1中，1与CC1是否在同一平面内？②点B,C1,D是否在同一平面内？③画出平面AC1与平面BC1D的交线，平面ACD1与平面BDC1的交线

B1C1BCDD1A1A解：①在正方体ABCDA1B1C1D1中，

∵AA1//CC1，∴由推论3可知，AA1与CC1可确定平面AC1，

∴AA1与CC1在同一平面内

②∵点B,C1,D不共线，由公理3可知，点B,C1,D可确定平面BC1D，

∴点B,C1,D在同一平面内

③∵ACBDO，D1C

DC1E，∴点O平面AC1，O平面BCD1，平面BC1DOC1，

又C1平面AC1，C1平面BCD1，∴平面AC1同理平面ACD1例3

若平面BDC1OE．

l，A,B，c，试画出平面ABC与平面,的交线

解：（1）若ABlD时，如图（1）；（2）若AB//l时，如图（2）

四、课堂练习：

1．选择题

（1）下列图形中不一定是平面图形的是

（ ）

（A）三角形

（B）菱形

（C）梯形

（D）四边相等的四边形

（2）空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ）

（A）一个

（B）四个

（C）六个

（D）八个

（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的

（ ）

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要

（4）若a



，b



，∩=c，a∩b=M，则

（ ）

（A）Mc

（B）Mc

（C）M

（D）M

答案：⑴ D ⑵ C ⑶ D ⑷ A 2．已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面. cCBba

c'dA证明：因为a//b，由推论3，存在平面，使得a,b

又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，d

下面用反证法证明直线c：

假设c，则cC,在平面内过点C作cb，

cC矛盾.故直线c. 因为b//c，则cc，此与c综上述，a、b、c、d四线共面. 3．求证：一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点. 证明：（用反证法）假设一个平面和不在这个平面内的一条直线有2个公共点，则由公理1，这条直线上的每一个点都在这个平面内，此与条件矛盾.所以一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点. 五、小结

：公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：