3.1.1 变化率问题课堂实录【1】

§3.1.1 变化率问题

【使用课时】：1课时

【学习目标】：1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义；

2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 【学***均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 【学习方法】：分组讨论学习法、探究式. 【学习过程】：

一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)343r

33V

4在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为_____________ 问题2 高台跳水

h 在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳2后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态? 在0t0.5这段时间里，v=_________________ 在1t2这段时间里，v=_________________ 问题3 平均变化率

已知函数fx，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数fx从x1到x2___________.习惯上用x表示x2x1，即x=___________,可把x看做是相对于x1的一个“增量”，可用x1x代替x2，类似有f(x)__________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________ 提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

二、新课导学

疑惑内容

ot

学习探究

探究任务一：

问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率

吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?

问题2：高台跳水，求平均速度

f(x2)f(x1)f新知：平均变化率：

x2x1x 试试：设yf(x)，x1是数轴上的一个定点，在数轴x上另取一点x2，x1与x2的差记为x，即x= 或者x2= ，x就表示从x1到x2的变化量或增量，相应地，y函数的变化量或增量记为y，即y= ；如果它们的比值，则上式就表示x为 ，此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值. 典型例题

例1 过曲线yf(x)x3上两点P(1,1)和Q(1x,1y)作曲线的割线，求出当x0.1时割线的斜率.

y变式：已知函数f(x)x2x的图象上一点(1,2)及邻近一点(1x,2y)，则= x2例2 已知函数f(x)x，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001]

当堂检测

1．函数fxx在区间1,3上的平均变化率是（ ）

2A、4 B、2 C、31 D、

4422．经过函数y2x图象上两点A、B的直线的斜率（xA1.5,xB1）为_______;函数y2x2在区间[1，1.5]上的平均变化率为_________________ 3．如果质点M按规律s3t运动，则在时间[2，2.1]中相应的平均速度等于______ 4. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第62

个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率. W(kg) 11 8.6 6.5 3.5 3 6 9 5.已知函数f(x)2x1，g(x)2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f(x)及g(x)的平均变化率. （发现：ykxb在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？）

学习小结

1.函数f(x)的平均变化率是 2.求函数f(x)的平均变化率的步骤：

（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率 ※

知识拓展

平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．

三、课后练习与提高

1. y2x1在(1,2)内的平均变化率为（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0 2. 设函数yf(x)，当自变量x由x0改变到x0x时，函数的改变量y为（ ）

A．f(x0x) B．f(x0)x

C．f(x0)x D．f(x0x)f(x0)

3. 质点运动动规律st23，则在时间(3,3t)中，相应的平均速度为（ ）

9A．6t B．6t

tC．3t D．9t

14.已知sgt2，从3s到3.1s的平均速度是_______ 25. yx22x3在x2附近的平均变化率是____ 26.已知函数f(x)x1，分别计算fx在下列区间上的平均变化率

12 T(月)

（1）[1，1.01] (2)[0.9,1]

7.已知一次函数yf(x)在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式.

8.已知函数yf(x)2x21的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x，f(1x）），求y

x9.将半径为R的球加热，若球的半径增加R，则球的体积增量4V4R(R)2(R)3________________

3