3.3.4 两条平行直线间的距离优秀教学设计

正弦定理和余弦定理复习

1．正弦定理:

或变形：

2．余弦定理：

或

3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.

2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC中ABC，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC,1sinAB2cosC2,2cosABCABC2sin2,3tan2cot2.

已知条件

定理应用

一般解法

一边和两角

（如a、B、C）

正弦定理

由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。

两边和夹角

(如a、b、c) 余弦定理

由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再

由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。

三边

(如a、b、c) 余弦定理

由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C

在有解时只有一解。

类型一：正弦定理的应用：

例1．已知在ABC中，c10，A45，C30，解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a，然后用三角形内角和求出角B，最后用正弦定理求出边b. acacsinA10si解析：sinAsinC，

sinCnsin3041502，

bB180(AC)105c∴

，又sinBsinC，

bcsinBsinC10sin105sin3020sin75206245652∴．

总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；

2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式

. 【变式1】在ABC中，已知B750，C600，c5，求a、A.

【变式2】在ABC中，已知sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c

例2．在ABC中，b3,B60,c1，求：a和A，C．

思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C，然后用三角形内角和求出角A，最后用正弦定理求出边a.

解析：由正弦定理得：bsinBcsinC，

∴sinCcsinBb1sin60312，

（方法一）∵0C180， ∴C30或C150，

当C150时，BC210180，（舍去）；

当C30时，A90，∴ab2c22．

（方法二）∵bc，B60， ∴CB，

∴C60即C为锐角， ∴C30，A90 ∴ab2c22．

总结升华：1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

2. 在利用正弦定理求角C时，因为sinCsin(1800C)，所以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C.3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.

举一反三：【变式1】在ABC中，c6，a2，A45，求b和B,C．

【变式2】在ABC中，B60，a14, b76, 求A.

类型二：余弦定理的应用：

例3．已知ABC中，AB3、BC37、AC4，求ABC中的最大角。

思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解. 解析：∵三边中BC37最大，∴BC其所对角A最大，

cosAAB2AC2BC23242根据余弦定理：2ABAC(37)212342，

∵

0A180，

∴A120

故ABC中的最大角是A120. 总结升华：

1.ABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；

2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系. 举一反三：【变式1】已知ABC中a3, b5, c7, 求角C.

【变式2】在ABC中，角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若a:b:c6:2:（31），求ABC的各角的大小．

【答案】设a6k，b2k，c31k，k0

6312cosB4根据余弦定理得：231622，

∵0B180，∴B45；同理可得A60；∴C180AB75

【变式3】在ABC中，若a2b2c2bc，求角A.

类型三：正、余弦定理的综合应用

例4．在ABC中，已知a23，c62，B450，求b及A. 思路点拨: 画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b，然后继续用余弦定理或正弦定理求角A. 解析：⑴由余弦定理得：b2a2c22accosB

=(23)2(62)2223(62)cos450

=12(62)243(31)=8

∴b22.

⑵求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理）

b2c2a2(22)2(62)2(23)2cosA1∵2bc222(62)2，∴A600.

sinAa233（法二：正弦定理）

∵bsinB22sin4502

又∵622.41.43.8，2321.83.6

∴a＜c，即00＜A＜900,∴A600.

总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好. 举一反三：【变式1】ABC中，已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若a2，b22，c62，求角A和sinC

类型三：正、余弦定理的综合应用

例4．在ABC中，已知a23，c62，B450，求b及A. 思路点拨: 画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b，然后继续用余弦定理或正弦定理求角A. 解析：⑴由余弦定理得：b2a2c22accosB

=(23)2(62)2223(62)cos450

=12(62)243(31)=8

∴b22.

⑵求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理）

cosAb2c2a2(22)2(62)2(23)21∵2bc222(62)2，∴A600.

sinAasinB233（法二：正弦定理）

∵b22sin4502

又∵622.41.43.8，2321.83.6

∴a＜c，即00＜A＜900,∴A600.

总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好. 举一反三：【变式1】ABC中，已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若a2，b22，c62，求角A和sinC