习题3.2优秀教学设计说课稿

3.2直线的方程教学设计

教学目标：理解直线方程的形式、特点和适用范围；能正确利用并求出求直线的方程；体会直线方程之间的关系，

重点、难点：直线方程的理解和推导，直线方程的应用. 直线l经过点P0(x0, y0)，且斜率为k。设点P(x, y)是直线l上不同于点P0的任意一点，根据斜率公式，可以得到，k即y由上述推导过程：

(1)过点P0(x0, y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程(1)；

(2)坐标满足方程(1)的点都在经过P0(x0, y0)，斜率为k的直线l上. 因为，若点P1(x1, y1)的坐标x1, y1满足方程(1),即y1y0k(x1x0)yPP0yy0xx0(xx0) Oxy0k(xx0) ，，如x1=x0，则y1=y0，说明P0与P1重合，所以点P1在l上；如x1≠x0，则kyy0xx0说明过点P1和P0的直线的斜率为k，因此P1在过P0斜率为k的直线l上。

根据(1)、(2)，说明方程(1)恰好为过点P0(x0, y0)，斜率为k的直线l任一点的坐标所满足的关系式，我们称方程(1)为过点P0(x0, y0)，斜率为k的直线l的方程。

方程(1)由直线上一点及其斜率确定，我们把方程(1)叫做直线的点斜式方程。

x轴所在直线的方程是什么？y轴所在直线的方程是什么？经过点

P0 (x0, y0)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么？经过点P0 (x0, y0)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么？

例1. 直线l经过点P0 (– 2，3)，且倾斜角= 45° . 求直线l的点斜式方程，并画出直线l. 解：直线l经过点P0 (–2，3)，斜率k = tan45°=1代入点斜式方程得

y

– 3 = x + 2

画图时，只需再找出直线l上的另一点P1 (x1，y1)，例如，取x1= –1，y1 = 4，得P1

的坐标为（– 1，4），过P0 ，P1的直线即为所求，如右图。

已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0, b)，代人直线l的点斜式方程，得

y = kx + b

（2）

我们把这个方程中的b叫做直线l 在y轴上的截距，这个方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，称这个方程为直线的斜截式方程。

从直线方程的角度认识一次函数y = kx + b，一次函数中k和b的几何意义是什么，说出一次函数y = 2x

– 1，y = 3x，y = –x + 3图象的特点吗。

例2

已知直线l1：y = k1 + b1，l2：y2 = k2

x + b2 . 试讨论：

（1）l1∥l2的条件是什么？（2）l1⊥l2的条件是什么？

解：（1）若l1∥l2，则k1 = k2，此时l1、l2与y轴的交点不同，即b1 = b2；反之，k1 = k2，且b1 = b2时，l1∥l2 .于是我们得到，对于直线l1：y = k1x + b1，l2：y = kx + b2

l1∥l2k1 = k2，且b1≠b2；l1⊥l2k1k2 = –1.

例3 求倾斜角是直线y（1）经过点(解∵直线y斜角143x1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程是. 3,1)；

（2）在y轴上的截距是–5. 33x1的斜率k，

∴其倾斜角=120°由题意，得所求直线的倾33130.故所求直线的斜率k1tan30. （1）∵所求直线经过点(3,1)，斜率为33，∴所求直线方程是y133(x3)，即3x3y60.

（2）∵所求直线的斜率是33，在y轴上的截距为–5，∴所求直线的方程

为y33x5，

即3x3y150

例4 直线l过点P(–2，3)且与x轴，y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线l的方程. 解：设直线l的斜率为k，∵直线l过点(–2，3)，

∴直线l的方程为y

–

3 = k[x

– (–2)]，令x = 0，得y = 2k + 3；令y = 0得x3k2.∴A、B两点的坐标分别为A(3k2,0)，B(0，2k + 3). ∵AB的中点为(–2，3)∴320k23,解之得k2202k332

∴直线l的方程为y332(x2)，即直线l的方程为3x

– 2y +12 = 0.

例5 直线y=mx+2m+1恒过一定点,则此点是

直线的两点式方程

已知两点P1 (x1，x2)，P2 (x1，x2) (其中x1≠x2，y1≠y2). 求通过这两点的直线方程

由直线的点斜式方程，得

y

–

y1 =y2y1x2x1(xx1)，

若y1≠y2时，可得

yy1y2y1xx1x2x1

(3) 这就是经过两点P1 (x1，x2)，P2 (x1，x2) (其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程，我们称它为直线的两点式方程。

若点P1 (x1，x2)，P2 (x2，y2)中有x1 = x2，或y1 = y2时，直线没有两点式方程；当x1 = x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：x = x1；当y1 = y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：y = y1。

例6已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B (0,b)，其中a≠0，b≠0.求直线l的方程。

所求直线方程为：

例7 已知三角形的三个顶点A(–5,0 ),B (3, –3),C (0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

解：如图，过B(3，–3)，C(0，2)的两点式方程为y232x030xayb1，指出a, b的几何意义和截距方程的概念。

，整理得5x + 3y

– 6 = 0，这就是BC所在直线的方程.

BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为(302,322)，即(32,12)，过A(–5，0)，M(32,12)的直线的方程为y0120x5325，整理得12x132y520，即x + 13y + 5 = 0，这就是BC边上中线所在直线方程。

例8 求经过点A (–3，4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程.

解：当直线l在坐标轴上截距都不为零时，设其方程为xaya1.将A(–3，4)代入上式，有3a4a1，

解得a = –7.∴所求直线方程为x

–

y + 7 = 0. 当直线l在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为y = kx.将A(–3，4)代入方程得4 = –3k，即k = 43.

∴所求直线的方程为y43x，即4x + 3y = 0.故所求直线l的方程为x

–

y + 7 = 0或4x + 3y = 0. 例9 如图，某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费y（元）与行李重量x

(kg)的关系用直线AB的方程表示，试求：

（1）直线AB的方程；（2）旅客最多可免费携带多少行李？

解：（1）由图知，A (60，6)，B (80，10)代入两点式可得AB方程为x

– 5y

– 30 =0；（2）由题意令y = 0，得x = 30

即旅客最多可免费携带30kg行李.

直线的一般式方程

直线的点斜式、斜截式、两点式方程都是关于x,y的二元一次方程；那么直线与二元一次方程之间是什么关系。

问题：(1)平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？

(2)每一个关于x，y的二元一次方程Ax + By + C = 0 (A, B不同时为0)都表示一条直线吗? 对问题一，任意一条直线l，在其上取点P0(x0, y0)，当其斜率存在为k时，其方程为y-y0=k(x-x0),当斜率不存在时，其方程为x=x0,它们都是x,y的二元一次方程，因此平面上

任何一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示；

对问题二，对任意一个二元一次方程Ax + By + C = 0 (A, B不同时为0)；

当B≠0时，得yABxCB，这是一个直线的斜截式方程，去斜率和截距是……；

当B = 0时，有A≠0，得xCA，这是一条平行于y轴的直线；

所以，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线。

综上所述，关于x，y的二元一次方程，它都表示一条直线。

我们把关于x，y的二元一次方程Ax + By + C = 0 (A, B不同为0)叫做直线的一般式方程。

直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线，即有局限性。