3.3.4 两条平行直线间的距离教案3

两条平行直线间的距离

一、目标

1)理解点到直线的距离公式的推导过程．

(2)掌握点到直线的距离公式．

(3)掌握点到直线的距离公式的应用．

二、过程与方法

(1)通过探索点到直线的距离公式的推导过程，渗透算法的思想．

(2)通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的推导过程，培养学生的数学阅读能力．

(3)通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．

三、重点难点

重点：点到直线的距离公式的推导及应用、两平行直线之间的距离求法．

难点：点到直线的距离公式的推导思路．

重难点突破：利用由特殊到一般及类比归纳的思想，由浅入深的引导学生探究点到直线的距离公式的推导思路，同时，教师借助于多媒体的直观演示，帮助学生理解距离公式的导出过程，突破教学难点，最后通过课堂典例训练，师生互动，突出教学重点．

四、教学流程

创设问题情境，引出问题：如何探求一点到一直线的距离？

1、点到直线的距离

如图，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d同线段PS，PR，RS间存在什么关系？

|PR||PS|【提示】

d＝. |RS|受问题1的启发，如何描述d同A，B，C及x0，y0间的具体关系？

|Ax0＋By0＋C|【提示】

d＝. A2＋B2

点到直线的距离

(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．

|Ax0＋By0＋C|(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. A2＋B2

2、两条平行直线间的距离

如图l1∥l2，两平行线间的距离等于其中任意一条直线上的任意点到另一条直线的距离吗？

【提示】

等于．

两条平行直线间的距离

(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．

(2)求法：两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离．

(3)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝法二

∵直线x＝2与y轴平行，

∴由图(1)知d＝|－1－2|＝3. |C1－C2|. A2＋B2

(3)法一

由点到直线的距离公式得

|－1×0＋2－1|d＝＝1. 02＋12法二

∵直线y－1＝0与x轴平行，

∴由图(2)知d＝|2－1|＝1.

规律方法

1．求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式．

2．当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合．

3．几种特殊情况的点到直线的距离：

(1)点P0(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；

(2)点P0(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|. 变式训练

若点(a,2)到直线l：y＝x－3的距离是1，则a＝________. 【解析】

直线l：y＝x－3可变形为x－y－3＝0. 由点(a,2)到直线l的距离为1，得

|a－2－3|＝1，

1＋(－1)2解得a＝5±2. 【答案】

5±2 3、求两条平行直线间的距离

例2

求两条平行直线l1：6x＋8y＝20和l2：3x＋4y－15＝0的距离．

解答本题可先在直线l1上任取一点A(2,1)，然后再求点A到直线l2的距离即为两条平行直线间的距离；或者直接应用两条平行线间的距离公式d＝|C1－C2|. A2＋B2

法一

若在直线l1上任取一点A(2,1)，则点A到直线l2的距离即为所求的平行线间的距离，

|3×2＋4×1－15|则d＝＝1. 32＋42法二

直接应用两条平行直线间的距离公式．

l1：3x＋4y－10＝0，l2：3x＋4y－15＝0，

|－10－(－15)|故d＝＝1. 32＋42

规律方法

针对这种类型的题目一般有两种思路：

(1)利用“化归”思想将两平行直线的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

(2)直接用公式d＝变式训练

求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．

【解】

∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，

|C1－C2|A＋B22，但要注意两直线方程中x，y的系数必须分别相同．

根据两平行直线间的距离公式得解得b＝45或b＝－33. ＝3，

52＋(－12)2|b－6|所以所求直线方程为：5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0. 巧用数形结合思想求两平行线间距离的最值问题

典例

两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：

(1)d的变化范围；

(2)当d取最大值时，两条直线的方程．

【思路点拨】

解答本题可以利用运动变化的观点，让两直线分别绕定点转动，观察它们之间距离的变化情况，从而得d的范围．

【规范解答】

(1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝(6＋3)2＋(2＋1)2＝310，

当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0

(2)当d取最大值310时，两条平行线都垂直于AB，

11所以k＝－＝－＝－3，

kAB2－(－1)6－(－3)故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，

即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.

课堂小结

|Ax0＋By0＋C|1．应用点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)距离公式d＝的前22A＋B提是直线方程为一般式．特别地，当直线方程A＝0或B＝0时，上述公式也适用，且可以应用数形结合思想求解．

2．两条平行线间的距离处理方法有两种：

一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的化归转化思想．

二是直接套用公式d＝|C1－C2|A2＋B2，其中l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，需注意此时直线l1与l2的方程为一般式且x，y的系数分别相同．

当堂检测

1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(

) A．1

B.3

C．2

D.5 |Ax0＋By0＋C||－5|【解析】

d＝＝＝5. 5A2＋B2【答案】

D 2．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为(

) 1A．3

B．2

C．1

D.

2|－7－(－12)|【解析】

d＝＝1. 32＋42【答案】

C 3．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________．

【解析】

|OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离．

|0＋0－4|d＝＝22. 1＋1【答案】

22 4．直线l过原点，且点(2,1)到l的距离为1，求l的方程．

【解】

由题意可知，直线l的斜率一定存在．

又直线l过原点，设其方程为y＝kx，即kx－y＝0. 由点(2,1)到l的距离为1，得4解得k＝0或k＝. 3∴直线l的方程为y＝0或4x－3y＝0. |2k－1|＝1. k2＋1