复习参考题教案1

空间几何体的外接球问题教学设计

第十师北屯高级中学

张富

1.教学目标

(1) 知识技能目标 : 熟练球的性质，掌握求空间几何体外接球半径的基本方法。

(2) 过程与方法目标 : 通过自主探索，让学生经历“特殊

一般

特殊”的认知过程，经历并逐渐渗透类比、转化与划归的数学思想。

(3) 情感、价值观目标 : 让学生感空间几何体探索的乐趣和成功的喜悦，

激发学生学习兴趣。

2.重点难点

教学重点：空间几何体外接球半径的求法。

教学难点：如何构造法补形、找球心位置解决空间几何体的外接球问题。

3.教学过程 活动1 知识回顾，提高效率

1、圆的定义、垂径定理、三角形外接圆半径的求法：

2、球的定义： （1)在空间中到定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球。

(2)以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体 简称球。

3、球的截面基本性质：

①用一个平面去截球，截面是圆面；

②球心和截面圆圆心的连线垂直于截面

③球心到截面的离d与球的半径R及截面的半径 r的关系：

. 4、球的表面积、体积公式：

球面

体积公式：

球

5、多面体的外接球：

若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 设计意图：温故而知新，为本节课的新课做好准备。

活动2 引例铺垫，题源探究

（1）若正方体的棱长为a ，则正方体的外接球半径R=

（2）设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，长方体的外接球半径R=

设计意图：复习基本几何体外接球问题，从学生熟悉的几何体开始复习，为进一步学习做准备。

活动3 变式教学，合作探究：

构造正方体或长方体确定球心

例题1：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 a ，求其外接球的表面

。

ADBC

设计意图：此题突出构造法的使用，把三棱锥补成正方体，正方体的体对角线就是三棱锥外接球的直径。

变式1：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长分别为为 a、b、c，

求其外接球的半径。

变式2：一个四面体的所有棱长都为2 ，四个顶点在同一球面上，求此球的表面积。

设计意图：本题考查球与正方体、长方体“接”的问题，利用正方体、长方体的性质，转化成为求其体对角线长。

由球的定义、性质确定球心

例题2. 正三棱锥的侧棱长为4，底面边长为

，求它的外接球的半径。

设计意图：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个顶点的距离相等且为球半径

找到球心在高线上

，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法。

变式1：正四棱锥S-ABCD的底面边长2,各侧棱长为

，点S、A、B、C、D都在同一球面上，求此球的体积。

S

DC

O1

BA图3

设计意图：选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，把空间问题转化成平面问题，这种等价转化的数学思想方法值得我们学习。

活动4 深入探究，加强理解：

变式2.

三棱柱ABCA'B'C'的底面是边长为2的等边三角形，侧棱垂直底面，侧棱长为4，求该三棱柱的外接球半径。 变式3：若是正四棱柱、正六棱柱如何确定外接球球心的位置？

A'

B'

C'

A

C

B

设计意图：让学生学会直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径。变式练习由易到难,循序渐进, 考察对方法的灵活应用，找到通法。

活动5 课堂训练

，巩固提高：

1.三棱锥的三条棱PA、PB、PC两两垂直，PA=1，PB=2，PC=3,求其外接球的半径。

2. 相对的棱相等的三棱锥A-BCD中，AB=CD=2,AC=BD=3,BC=AD=4，求其外接球的半径。

3.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积。

4.

三棱柱ABCA'B'C'的底面是腰长为2的等腰三角形，

，侧棱垂直底面，侧棱长为4，求该三棱柱的外接球半径。

教师巡视指导，引导发现，引导学生进行正确分析，鼓励他们积极思考发言，表达自己的观点。

活动6 归纳小结，总结方法

通过这节课，你有什么收获？ 如何求空间几何体的外接球半径？有哪些方法？

1．构造正方体或长方体确定球心

正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥都分别可构造正方体。

同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体或正方体。

2.由球的定义、性质确定球心

利用球心O与截面圆圆心的连线垂直于截面的性质确定球心。

设计意图：鼓励学生积极思考发言，表达自己的观点，提高学生归纳概括能力。

活动7 布置作业，跟踪练习

1.已知三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=1，AD=2，BD=，AC=，BC⊥AD，求三棱锥的外接球的表面积。

2.在三棱椎A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，求该三棱椎外接球的表面积。

3.四面体PABC中PA=BC=2,AB=PC=4,,AC=PB=

，求其外接球的体积。

4.正三棱锥的高为4，底面边长为

，求它的外接球的半径。

设计意图：课后巩固，加深理解。