小结第二课时教学实录

《几何体与外接球》教学设计

授课教师： 许幼贤（诏安一中）

指导教师： 许伟湘（诏安一中）

沈彦章（诏安一中）

一、教学分析：

本节课是在全面学习了立体几何中的空间几何体之后，对空间中简单多面体与球相结合的综合问题的研究，其中涉及到长方形外接圆的半径，三角形外接圆的半径的求法，需要学生充分发挥空间想象能力，在球中构建直角三角形求外接圆的半径。本节课既有对简单问题的快速便捷处理方法，又有对常见考法的系统探究，是属于中高考复习备考方法，策略的研究案例。

二、学情分析: 多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点，在近几年的高考题中都有出现。球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。在平时学习中，学生已经掌握了正方体、长方体的外接球，了解了补形法，但对一般三棱锥的外接球相关问题的求解仍有困难，主要是因为不善于抓住几何体的结构特征，不能正确回归外接球定义，寻找球心和半径。

三、教学目标：

知识与技能：学生学会用构造法解决空间几何体的外接问题。

过程与方法：学生建立空间感，体会转化的数学思想方法。

情感、态度、价值观：完善学生知识体系，增进学生对数学的信心和

兴趣。

四、教学重点：

学会转化的思想方法。

五、教学难点：

构造法的要点。

六、教学过程：

Ⅰ、课前导入：

很多几何体,如正方体、长方体、正棱柱、锥体等都能够和球进行充分的组合,特别是以外接和内切的形式进行组合,考查空间想象能力,题目的结论一般是要求几何体或球的表面积、体积.球与几何体的切、接问题是近几年高考考查的热点问题，值得我们共同探究。本节课我们重点考查几何体与外接球的关系。

引例（上课运用超链接）：

例1、2010年全国新课标卷第10题

例2、2014年全国大纲卷第8题

例3、2017年全国卷Ⅲ第8题

设计意图：让学生体会到本节课的重要性，提前感受高考。

思考：正方体与球有哪些特殊的位置关系？

情况（1）

与正方体各棱相切的球的直径是面对角线

情况（2）

情况（3）

设计意图：

复习基本模型外接球及内切球问题。从学生熟悉的几何体开始复习，为进一步学习做准备。

Ⅱ、典例分析：

类型一

球与正方体、长方体

【例1】

棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E,F分别是棱AA1,DD1的中点,则直线EF被球O截得的线段长为(

)

(A)22

(B)1 (C)1+ (D)2

22AD12=解析:由题意可知,球为正方体的外接球.平面AA1D1D截球所得的圆面的半径R=

2, 2

因为EF平面AA1D1D,所以直线EF被球O截得的线段为球的截面圆的直径2R=2.故选D. 类型二

球与直棱柱、圆柱

【例2】

正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各顶点都在半径为R的

球面上,则正四棱柱的侧面积有最 值,为 .

则R=OA.设正四棱柱的侧棱长为b,底面边长为a,

则AC=

S=4ab=2a,AE=解析:如图,截面图为长方形ACC1A1和其外接圆.球心为EE1的中点O, 222b2ba,OE=,R2=(a)+(), 2222所以4R2=2a2+b2,则正四棱柱的侧面积

2·2a·2b≤2(2a2+b2)=42R2, 2R2,当且仅当a=

故侧面积有最大值,为4

答案:大

242R

2b时等号成立. 2

方法点睛

球与直棱柱、圆柱的组合体多用构造直角三角形法.

类型三

球与正棱锥、圆锥

【例

3】在正三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°,则该三棱锥外接球的体积为(

) (A)π

(B)π

3(C)4π

(D)4π

3

解析

:如图所示,过P点作底面ABC的垂线,垂足为O,设H为外接球的球心

,连接AH,AO,因为∠PAO=60°,PA=3,故AO=33,PO=, 22

又△AHO为直角三角形,AH=PH=r,AH2=AO2+OH2, 所以r2=(44323)+(-r)2,所以r=1,所以V=π×13=π.故选D. 2332方法点睛

正棱锥的外接球,可以转化为圆锥的外接球,即正棱锥先外接圆锥再外接球. 类型四

特殊的三棱锥与外接球

【例4】

三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=3,BC=4,PA=5,则三棱锥的外接球的表面积为

.

解析:三棱锥P-ABC的外接球的一个直径为PC=PC2=50π.

324252=50,外接球的表面积S=4π·(PC2)=π2方法点睛

三个面或四个面都是直角三角形的三棱锥的外接球问题,都可以转化

为长方体的外接球. 设计意图：

解决一个几何体的外接球可能有多种方法，让学生发挥想象，提出各种方法，通过比较生成对结合体外接球问题的认识。逐步完善学生知识体系。

Ⅲ、课堂练习：

真题展现

(2019年全国Ⅰ卷理科数学12题)

已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上， PA=PB=PC,

△ABC是边长为2的正三角形，E,F分别为PA,AB的中点，∠CEF=90°,则球O的体积为（ ）

A.86B.46C.26D.6

答案：D 七、课堂小结

几何体外接球半径的常见解法：

1、补形法（关键在于放到长方体、正方体中）；

2、构造直角三角形（关键在于找到底面三角形的外心）。

3、教师强调转化的思想在数学研究中的应用。

【设计意图】学生回顾总结本节课所学内容，培养学生归纳总结的能力以及语言表达的素养. 八、布置作业

必做题：已知三棱锥SABC中,SA⊥平面ABC,

且∠ACB=30°,AC=2AB=23,SA=1.则该三棱锥的

外接球的体积为 . 选做题：已知A,B,C,D四点均在以点O1为球心的球面上, 且AB=AC=AD=25,BC=BD=42,CD=8.若球O2在

球O1内且与平面BCD相切,则球O2直径的最大值为 . 【设计意图】针对学生特点，分层布置作业。

九、教学反思：

（1）用课堂练习和课后作业来检测学生对相关知识点的掌握情况，检验是否能正确使用补形法、构造直角三角形法和轴面法，并强调注意事项；

（2）本专题有较大的难度，高考题目出现的位置多为选择题，填空题，综合性较强,要结合学生的实际情况进行选题讲解！