测试课堂实录【1】

第22章

二次函数测试卷

班别： 姓名： 学号：

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）

1．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（

）

A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2）

C．（1，﹣2） D．（1，2）

2．在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（

）

A．y=（x+2）2

B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）2

3．对于函数y=5x2，下列结论正确的是（

）

A．y随x的增大而增大

B．图象开口向下

C．图象关于y轴对称

D．无论x取何值，y的值总是正的

4.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是( ) A.3 B.2

C.1

D.0 5.二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的

取值范围是( ) A.x＜-1

B.x＞2 C.-1＜x＜2

D.x＜-1或x＞2 6．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（

）

A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）

B．顶点坐标是（1，﹣3）

C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）

D．当x＜0时，y随x的增大而减小

7．当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（

）

A． B． C．

D．

8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①=﹣1；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a+b＞0．其中正确的个数是（

）

A．

4个

B．

3个

C．

2个

D．

1个

9．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（

）

A．

此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5

B．

篮圈中心的坐标是（4，3.05）

C．

此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）

D．

篮球出手时离地面的高度是2m

10．如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（

）

A．212

B．

C．﹣2

D．

323二、

填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11．将抛物线y＝2x2先向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的解析式是________________．

12．抛物线y=2x2﹣3x的对称轴是____________.

13．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为

A（﹣2，4），B（1，1），则不等式ax2〉bx+c的解集是

．

14．二次函数y=x2+mx+1的图象的顶点在坐标轴上，则m的值___________. 15．要用总长为20 m的铁栏杆，一面靠墙(墙长为12 m)围成

一个矩形ABCD花圃，花圃的面积最大是__________；

16．抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且经过点2（3，0），则a﹣b+c的值为___________.. 三、解答题

17．抛物线经过A（1，0），B（2，5），C（0，-3）三点，求此抛物线的解析式。

18．已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．

19．.已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x-h）2的顶点为P（1，0），直线l与抛物线的交点为M．

（1）求直线l的函数解析式；

（2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式．

20．已知函数y=﹣x2+mx+（m+1）（其中m为常数）

（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；

（2）若该函数的图象对称轴是直线x=1，顶点为点A，求此时函数的解析式及点A的坐标．

21.

如图，隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，OM为12米．

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)若在隧道C，D处装两个路灯，且路灯的高度为4米，

22．

“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．

23．已知，抛物线求抛物线的解析式；

经过点和．

在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；

设点M在抛物线的对称轴上，当的值最小？如果存在，请求是直角三角形时，求点M的坐标．

24．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P横坐标为t．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．

①求S关于t的函数表达式；

②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．

22．【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；

（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；

（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．

40kb300【解答】解：（1）由题意得：，

55kb150k10解得：．

b700故y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+700，

（2）由题意，得

﹣10x+700≥240，

解得x≤46，

设利润为w=（x﹣30）y=（x﹣30）（﹣10x+700），

w=﹣10x2+1000x﹣21000=﹣10（x﹣50）2+4000，

∵﹣10＜0，

∴x＜50时，w随x的增大而增大，

∴x=46时，w大=﹣10（46﹣50）2+4000=3840，

答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；

（3）w﹣150=﹣10x2+1000x﹣21000﹣150=3600，

﹣10（x﹣50）2=﹣250，

x﹣50=±5，

x1=55，x2=45，

如图所示，由图象得：

当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．

23．（1）；（2）当的值最小时，点P的坐标为；（3）点M的坐标为【解析】

【分析】

、、或.

由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

连接BC交抛物线对称轴于点P，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；

设点M的坐标为，和，则，分，、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标．

【详解】

23．已知，抛物线求抛物线的解析式；

经过点和．

在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；

设点M在抛物线的对称轴上，当23、解：．

的值最小？如果存在，请求是直角三角形时，求点M的坐标．

连接BC交抛物线对称轴于点P，此时取最小值，如图1所示．

当解得：时，有，．

，

．

，

中，

，

，

点B的坐标为抛物线的解析式为抛物线的对称轴为直线设直线BC的解析式为将、代入得：，解得：，

直线BC的解析式为当当时，，

．

的值最小时，点P的坐标为．

设点M的坐标为则，

，．

，分三种情况考虑：

当解得：，或时，有时，有，

；

，即，

，即，

点M的坐标为当解得：，点M的坐标为；

当时，有，即，

解得：，点M的坐标为

综上所述：当【点睛】

本题考查待定系数法求二次一次函数解析式、二次一次函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：抛物线解析式；、由点的坐标，利用待定系数法求出分是直角三角形时，点M的坐标为、、或

由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P的位置；和三种情况，列出关于m的方程．

24．（2018郴州）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．

①求S关于t的函数表达式；

②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．

【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，

1bc0b2，解得：，

93bc0c3∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．

（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，

∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴抛物线的对称轴为直线x=1．

当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．

∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，

∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），

∴点M的坐标为（1，6）；

当t≠2时，不存在，理由如下：

若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，

∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，

∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．

又∵t≠2，

∴不存在．

（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．

设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），

将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，

3mn0m1，解得：，

n3n3∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．

∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），

∴点F的坐标为（t，﹣t+3），

∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，

132933227∴S=2

PFOB=﹣2

t+2

t=﹣2

（t﹣2

）+8

．

3②∵﹣2

＜0，

327∴当t=2

时，S取最大值，最大值为8

．

∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），

∴线段BC=OB2+OC2

=32 ，

278×292315∴P点到直线BC的距离的最大值为

=8

，此时点P的坐标为（2

，4

）．

32

【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．

人教版九年级上册数学单元测试卷含答案

第22章

二次函数

（满分120分 考试时间120分钟）

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）

1．（2018随州二模）下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（

）

1A．y=2

x（x﹣3）

B．y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2

1C．y=x2+x

D．yx22x3

【答案】A 【分析】根据二次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．

1123【解答】解：A、y=2

x（x﹣3）=2

x﹣2

x，是以x为自变量的二次函数，故本选项正确；

B、y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2=x2﹣4﹣x2+2x﹣1=2x﹣5，是以x为自变量的一次函数，故本选项错误；

C、分母上有自变量x，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误；

D、二次三项式是被开方数，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误．

【点评】本题考查了二次二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．

2．（2018顺德区模拟）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（

）

A．【答案】D B． C．

D．

【分析】根据题意，ab＞0，即a、b同号，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．

【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，

当a＞0时，b＞0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；

此时，没有选项符合，

当a＜0时，b＜0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；

此时，D选项符合，

【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．

3．（2018南关区校级一模）对于函数y=5x2，下列结论正确的是（

）

A．y随x的增大而增大

B．图象开口向下

C．图象关于y轴对称

D．无论x取何值，y的值总是正的

【答案】C 【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．

【解答】解：∵二次函数解析式为y=5x2，

∴二次函数图象开口向上，当x＜0时y随x增大而减小，当x＞0时y随x增大而增大，对称轴为y轴，无论x取何值，y的值总是非负．

【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论．

4．（2018杭州模拟）当﹣4≤x≤2时，函数y=﹣（x+3）2+2的取值范围为（

）

A．﹣23≤y≤1 B．﹣23≤y≤2 C．﹣7≤y≤1 D．﹣34≤y≤2 【答案】B 【分析】先根据a=﹣1判断出抛物线的开口向下，故有最大值，可知对称轴x=﹣3，再根据﹣4≤x≤2，可知当x=﹣3时y最大，把x=2时y最小代入即可得出结论．

【解答】解：∵a=﹣1，

∴抛物线的开口向下，故有最大值，

∵对称轴x=﹣3，

∴当x=﹣3时y最大为2，

当x=2时y最小为﹣23，

∴函数y的取值范围为﹣23≤y≤2，

【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴以及增减性是解题的关键．

5．（2018陕西模拟）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它

们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y=﹣x2+4x+m，则m的值是（

）

A．1或7 B．﹣1或7 C．1或﹣7 D．﹣1或﹣7 【答案】D 【分析】根据顶点公式求得已知抛物线的顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点，根据题意得出关于m的方程，解方程即可求得．

【解答】解：∵一条抛物线的函数表达式为y=﹣x2+4x+m，

∴这条抛物线的顶点为（2，m+4），

∴关于x轴对称的抛物线的顶点（2，﹣m﹣4），

∵它们的顶点相距6个单位长度．

∴|m+4﹣（﹣m﹣4）|=6，

∴2m+8=±6，

当2m+8=6时，m=﹣1，

当2m+8=﹣6时，m=﹣7，

∴m的值是﹣1或﹣7．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式，坐标和线段长度之间的转换，关于x轴对称的点和抛物线的关系．

6．（2018营口模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，则下

列结论中正确的个数有（

）

①4a+b=0；

②9a+3b+c＜0；

1③若点A（﹣3，y1），点B（﹣2

，y2），点C（5，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；

④若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C 【分析】由抛物线对称轴可判断①；由抛物线的对称性知x=3时，y＞0，可判断②；根据二次函数的增减性知抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，据此可判断③；方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根即为抛物线y=a（x+1）（x﹣5）与直线y=﹣3交点的横坐标，据此可判断④．

b【解答】解：由抛物线的对称轴为x=2可得﹣2a

=2，即4a+b=0，故①正确；

由抛物线的对称性知x=0和x=4时，y＞0，

则x=3时，y=9a+3b+c＞0，故②错误；

∵抛物线的开口向下，且对称轴为x=2，

∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，

∵点A到x=2的水平距离为5，点B到对称轴的水平距离为2.5，点C到对称轴的水平距离为3，

∴y1＜y3＜y2，故③正确；

令y=a（x+1）（x﹣5），

则抛物线y=a（x+1）（x﹣5）与y=ax2+bx+c形状相同、开口方向相同，且与x轴的交点为（﹣1，0）、（3，0），

函数图象如图所示，

由函数图象可知方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根即为抛物线y=a（x+1）（x﹣5）与直线y=﹣3交点的横坐标，

∴x1＜﹣1＜5＜x2，故④正确；

【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题及二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．

12．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．（2018南关区校级一模）若y(m2)xm是

．

【答案】2 【分析】根据二次函数的定义求解即可．

【解答】解：由题意，得

m2﹣2=2，且m+2≠0，

解得m=2，

【点评】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键．

8．（2018攀枝花）抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为____________. 【答案】（1，1）

【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．

【解答】解：∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，

∴顶点坐标为（1，1）．

【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．

9．（2017苏州一模）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且经过点（3，0），则a﹣b+c的值为___________. 【答案】0 【分析】根据二次函数对称性可求出点（3，0）关于对称轴直线x=1的对称点为（﹣1，0），然后把（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c即可求出答案．

【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，

∴根据二次函数的对称性得：点（3，0）的对称点为（﹣1，0），

∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，

∴a﹣b+c的值等于0．

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出点P关于对称轴的对称点，此题难度不大．

10．（2018河南模拟）已知，二次函数y=x2+bx﹣2017的图象与x轴交于点A（x1，223x2是二次函数，则m的值

0）、B（x2，0）两点，则当x=x1+x2时，则y的值为___________. 【答案】﹣2017 【分析】因为二次函数y=x2+bx﹣2017的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，所以x1+x2=﹣b，当x=x1+x2=﹣b时，y=（﹣b）2+b（﹣b）﹣2017=﹣2017，由此即可解决问题．

【解答】解：∵二次函数y=x2+bx﹣2017的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，

∴x1+x2=﹣b，

∴当x=x1+x2=﹣b时，y=（﹣b）2+b（﹣b）﹣2017=﹣2017，

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

11．（2018绵阳）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加

m．

【答案】42 ﹣4 【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．

【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且

通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），

通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），

到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，

当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当y=﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，

可以通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出：

﹣2=﹣0.5x2+2，

解得：x=±22 ，所以水面宽度增加到42 米，比原先的宽度当然是增加了（42 ﹣4）米，

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．

二、（2018武昌区模拟）二次函数y=x2+mx+1的图象的顶点在坐标轴上，则m的值___________. 【答案】0或±2 【分析】由二次函数y=x2+mx+1的图象的顶点在坐标轴上，分两种情况讨论即可．

【解答】解：当图象的顶点在x轴上时，

∵二次函数y=x2+mx+1的图象的顶点在x轴上，

∴二次函数的解析式为：y=（x±1）2，

∴m=±2．

当图象的顶点在y轴上时，m=0，

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（2018宣州区模拟）已知函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，

（1）当m为何值时，此函数是一次函数？

（2）当m为何值时，此函数是二次函数？

【分析】（1）直接利用一次函数的定义进而分析得出答案；

（2）直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．

【解答】解：（1）∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，

∴m2+2m=0，m≠0，

解得：m=﹣2；

（2））∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，

∴m2+2m≠0，

解得：m≠﹣2且0．

【点评】此题主要考查了一次函数以及二次函数的定义，正确把握次数与系数的值是解题关键．

14．（2018历城区模拟）已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣4）和（﹣1，2），求这个抛物线的顶点坐标．

【分析】利用待定系数法即可求出二次函数解析式，配方成抛物线的顶点式即可求出抛物线的顶点坐标．

1bc4【解答】解：（1）把点（1，﹣4）和（﹣1，2）代入y=x2+bx+c，得，

1bc2b3解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣2．

c2317y=x2﹣3x﹣2=（x﹣2

）2﹣4

，

317所以抛物线的顶点坐标为（2

，﹣4

）．

【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，解题的关键是正确求出二次函数的解析式．

15．（2018合肥模拟）下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：

x ﹣x2+bx+c …

…

﹣2 5 ﹣1 n 0 c 1 2 2 ﹣3 3 ﹣10 …

…

（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；

（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．

【分析】（1）把（﹣2，5）、（1，2）分别代入﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到b、c的值；然后计算x=﹣1时的代数式的值即可得到n的值；

（2）利用表中数据求解．

42bc5b2【解答】解：（1）根据表格数据可得，解得，

1bc2c5∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，

当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；

（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y的最大值是5．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

16．（2018静安区一模）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．

【分析】（1）设顶点式y=a（x﹣3）2+5，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；

（2）利用抛物线的对称性得到B（5，3），再确定出C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2+5，

1将A（1，3）代入上式得3=a（1﹣3）2+5，解得a=﹣2

，

1∴抛物线的解析式为y=﹣2

（x﹣3）2+5，

（2）∵A（1，3）抛物线对称轴为：直线x=3 ∴B（5，3），

111令x=0，y=﹣2

（x﹣3）2+5=2

，则C（0，2

），

11△ABC的面积=2

×（5﹣1）×（3﹣2

）=5．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三

元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

17．（2018南京）已知二次函数y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．

（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；

（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？

【分析】（1）代入y=0求出x的值，分m+3=1和m+3≠1两种情况考虑方程解的情况，进而即可证出：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论．

【解答】（1）证明：当y=0时，2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=0，

解得：x1=1，x2=m+3．

当m+3=1，即m=﹣2时，方程有两个相等的实数根；

当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根．

∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；

（2）解：当x=0时，y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=2m+6，

∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，

∴当2m+6＞0，即m＞﹣3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）由方程2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=0有解证出该函数的图象与x轴总有公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

318．（2018云南）已知二次函数y=﹣16

x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，9﹣2

）两点．

（1）求b，c的值．

3（2）二次函数y=﹣16

x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．

【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；

（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点，由题意得到方程39﹣16

x2+8

x+3=0，通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标．

932【解答】解：（1）把A（0，3），B（﹣4，﹣2

）分别代入y=﹣16

x+bx+c，得

c39，

3164bc216c3解得9；

b8

329（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣16

x+8

x+3．

932252△=（8

）﹣4×（﹣16

）×3=64

＞0，

3所以二次函数y=﹣16

x2+bx+c的图象与x轴有公共点．

39∵﹣16

x2+8

x+3=0的解为：x1=﹣2，x2=8 ∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．

【点评】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系．

19．（2018昆明）如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．

（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范图；

（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．

【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；

（2）将AB所在直线的解析式求出，利用直线AP与AB垂直的关系求出直线AP的斜率k，再求直线AP的解析式，求直线AP与x轴交点，求点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．

ab3a1【解答】解：（1）由题意得b，解得，

2b42a∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x，

令y=0，得x2﹣4x=0，解得x=0或4，

结合图象知，A的坐标为（4，0），

根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范图是0≤x≤4；

（2）设直线AB的解析式为y=mx+n，

mn3m1则，解得，

4mn0n4∴y=x﹣4，

设直线AP的解析式为y=kx+c，

∵PA⊥BA，

∴k=﹣1，

则有﹣4+c=0，解得c=4，

yx24xx1x4∴，解得或

y5y0yx4又∵当x=4，y=0时，P为（4，0），不在第二象限，故舍去

∴点P的坐标为（﹣1，5），

∴△PAB的面积=8×5﹣8×2÷2﹣3×3÷2﹣5×5÷2=15．

【点评】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．

20．（2017石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣3（a≠0）的顶点为A．

（1）求顶点A的坐标；

（2）过点（0，5）且平行于x轴的直线l，与抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣3（a≠0）交于B，C两点．

①当a=2时，求线段BC的长；

②当线段BC的长不小于6时，直接写出a的取值范围．

【分析】（1）配方得到y=ax2﹣4ax+4a﹣3=a（x﹣2）2﹣3，于是得到结论；

（2）①当a=2时，抛物线为y=2x2﹣8x+5，如图．令y=5得到2x2﹣8x+5=5，解方程即可得到结论；②令y=5得到ax2﹣4ax+4a﹣3=5，解方程即可得到结论．

【解答】解：（1）∵y=ax2﹣4ax+4a﹣3=a（x﹣2）2﹣3，

∴顶点A的坐标为（2，﹣3）；

（2）①当a=2时，抛物线为y=2x2﹣8x+5，如图．

令y=5，得

2x2﹣8x+5=5，

解得，x1=0，x2=4，

42a∴

线段BC的长为4，

a②令y=5，得ax2﹣4ax+4a﹣3=5，

2a－22a2a+22a解得，x1=

，x2=

，

aa

42a∴线段BC的长为a

，

∵线段BC的长不小于6，

42a∴a

≥6，

8∴0＜a≤

．

9

【点评】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的顶点坐标，正确的作出图象是解题的关键．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（2018扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．

【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；

（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；

（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．

40kb300【解答】解：（1）由题意得：，

55kb150k10解得：．

b700故y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+700，

（2）由题意，得

﹣10x+700≥240，

解得x≤46，

设利润为w=（x﹣30）y=（x﹣30）（﹣10x+700），

w=﹣10x2+1000x﹣21000=﹣10（x﹣50）2+4000，

∵﹣10＜0，

∴x＜50时，w随x的增大而增大，

∴x=46时，w大=﹣10（46﹣50）2+4000=3840，

答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；

（3）w﹣150=﹣10x2+1000x﹣21000﹣150=3600，

﹣10（x﹣50）2=﹣250，

x﹣50=±5，

x1=55，x2=45，

如图所示，由图象得：

当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．

22．（2018乐山）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．

（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；

（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．

【分析】（1）直接利用△=b2﹣4ac，进而利用偶次方的性质得出答案；

（2）首先解方程，进而由|x1﹣x2|=6，求出答案；

（3）利用（2）中所求得出m的值，进而利用二次函数对称轴得出答案．

【解答】（1）证明：由题意可得：

△=（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）

=1+25m2﹣10m+20m =25m2+10m+1 =（5m+1）2≥0，

故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5=0，

1解得：x1=﹣m

，x2=5，

由|x1﹣x2|=6，

1得|﹣m

﹣5|=6，

1解得：m=1或m=﹣11

；

（3）解：由（2）得，当m＞0时，m=1，

此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x=2，

由题已知，P，Q关于x=2对称，

a+a+n∴

=2，即2a=4﹣n，

2∴4a2﹣n2+8n=（4﹣n）2﹣n2+8n=16．

【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，正确得出方程的根是解题关键．

六、（本大题共12分）

23．（2018郴州）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．

①求S关于t的函数表达式；

②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．

【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；

（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；

②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．

【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，

1bc0b2，解得：，

93bc0c3∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．

（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，

∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴抛物线的对称轴为直线x=1．

当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．

∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，

∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），

∴点M的坐标为（1，6）；

当t≠2时，不存在，理由如下：

若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，

∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，

∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．

又∵t≠2，

∴不存在．

（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．

设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），

将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，

3mn0m1，解得：，

n3n3∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．

∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），

∴点F的坐标为（t，﹣t+3），

∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，

1393327∴S=2

PFOB=﹣2

t2+2

t=﹣2

（t﹣2

）2+8

．

3②∵﹣2

＜0，

327∴当t=2

时，S取最大值，最大值为8

．

∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），

∴线段BC=OB2+OC2

=32 ，

278×292315∴P点到直线BC的距离的最大值为

=8

，此时点P的坐标为（2

，4

）．

32

【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．