利用完全平方差公式进行因式分解名师教学实录

靖边县第五中学

“自、精、合、练”教学设计

(共案) 课型： 课时： 课时 主备人：贺治新 审核人：马宏宇 授课人: 课 题

教

学

目

标

重点

难点

4.3公式法( 1) 时间

经历通过整式乘法的平方差、完全平方公式逆向得出公式法分解因知识与技能

式的方法的过程，发展学生的逆向思维。

在探索过程中培养学生解决问题的主动性，加强学生的直过程与方法

觉思维并渗透化归的思想。

情感、态度与在数学活动中培养学生的合作意识和创新精神，体会数学价值观

知识间的整体联系。

会用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）。

会用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）。

教

学

设

计

环

节

自

主

学

习

精

讲

点

拨

1.创设情景，导出问题

(1) 观察多项式x2-25，9x2-y2,它们有什么共同特征？

（这是对平方差公式的再认识，通过整式乘法的逆变形得到分解因式的方法，让学生进一步感受到整式乘法与分解因式的互逆关系。）

(2) 将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流。

（让学生充分交流，加深对这种方法的理解。）

2.探索交流，概括概念

讨论：

（1）多项式的各项都能写成平方的形式。如x2-25中：x2本身是平方的形式，25=52也是平方的形式；9x2-y2也是如此。

（2）逆用乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2, 可知x2-25= x2-52=(x+5)(x-5),9x2-y2=(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y). 所以我们可以借助乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的逆过程得到乘法公式a2-b2= (a+b)(a-b)

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(共案)

合

作

探

究

3.巩固应用，拓展研究

例1

把下列各式分解因式：

（直接利用平方差公式分解因式，让学生体会公式中的a，b在此例中分别是什么）

提问：a2-b2= (a+b)(a-b) 中a，b都表示单项式吗？它们可以是多项式吗？

例2 把下列各式分解因式：

(1) 9(m+n)2-(m-n)2;

(2) 2x3-8x; 解

(1)9(m+n)2-(m-n)2=4(2m+n)(m+2n)

（进一步让学生理解平方差公式中的字母a，b不仅可以表示数，而且可以表示其他代数式。）

(2)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-2x)=2x(x+2)(x-2)

（引导学生体会多项式中若含有公因式，就要先提公因式，然后进一步分解，直至不能再分解为止。）

4.应用加强，课内深化

1 把下列各式分解因式：

2 如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个分解因式的公式，这个公式是怎样的？

5.练习巩固，促进迁移

（1）把下列各式分解因式

①

-(x+y)2+z2

(让学生比较（x+y+z）(z-x-y)与-(x+y+z)(x+y-z)是否相等)

②

9（a+b）2-4（a-b）2

③m4-16m4

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(共案) （2）如图，水压机有四根空心钢立柱．每根的高h都是18米，外径D为1米，内径d为0.4米，每立方米钢的重量为7.8吨．求四根立柱的总重量．(π取3.14，结果保留两个有效数字)．

解：设四根立柱总重量为w吨，则

原式=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+1 =(m-1)(m+1)+1=m2=(x2+5x+5)2

（3）已知a,b,c是△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0试判断△ABC的形状。

答案：∵a2+b2+c2-ab-bc-ca=0

∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0 即a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0

∴(a-b) 2+(b-c) 2+(a-c) 2=0 ∵(a-b) 2≥0，(b-c) 2≥0，(a-c) 2≥0

∴a-b=0，b-c=0，a-c=0 ∴a=b，b=c，a=c ∴这个三角形是等边三角形. （4）设x+2z=3y,试判断x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值？

答案：当x+2z=3y时，x2-9y2+4z2+4xz的值为定值0。

（

5.回顾联系，形成结构

想一想：怎样通过整式乘法的平方差公式逆向用法来分解因式，分解时应注意什么？

（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）

当

堂

巩

固

课

堂

小

结

分解因式：分解因式：

通过本节课的学习你有什么收获？

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板

书

设

计

公式法

作

业

布

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课后：第1、2题

教

后

反

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