8.2 消元——二元一次方程组的解法优质公开课教案

8．2

消元——解二元一次方程组

第1课时

代入消元法

教学目标

知识与技能

1．用代入法解二元一次方程组．

2．了解解二元一次方程组时的“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想．

3．会用二元一次方程组解决实际问题．

教学重点

用代入法解二元一次方程组．

教学难点

探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程．

教学过程

一、情景导入

教师出示下列问题：

问题1：篮球联赛中，每场比赛都要分胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？

问题2：在上述问题中，我们也可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，那么怎样求解二元一次方程组呢？

二、新课教授

教师引导：什么是二元一次方程组的解？(方程组中各个方程的公共解)

学生列式计算后回答：

满足方程①的解有：

…

满足方程②的解有：

…

这两个方程的公共解是

师：这种列举法比较麻烦，有没有简单一点的方法呢？

师：由方程①进行移项得y＝22－x，由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数，故可以把方程②中的y用(22－x)来代换，即得2x＋(22 －x)＝40.由此一来，二元就化为一元了．

解得x＝18.

问题解完了吗？怎样求y?

将x＝18代入方程y＝22－x，得y＝4.

能代入原方程组中的方程①、②来求y吗？代入哪个方程更简便？

这样，二元一次方程组的解就是

教师归纳并板书：

这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程，从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法．

三、例题讲解

【例1】

用代入法解方程组

分析：方程①中x的系数是1，用含y的式子表示x，比较简便．

解：由①，得

x＝y＋3.③

把③代入②，得

3(y＋3)－8y＝14.

解这个方程，得

y＝－1.

把y＝－1代入③，得

x＝2.

所以这个方程组的解是

【例2】

根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500 g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为2∶5.某厂每天生产这种消毒液22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？

分析：问题中包含两个条件：

大瓶数∶小瓶数＝2∶5，

大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝总生产量．

解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶．

根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总生产量的数量关系，得

由①，得

y＝x. ③

把③代入②，得

500x＋250×x＝22500000.

解这个方程，得

x＝20000.

把x＝20000代入③，得

y＝50000.

所以这个方程组的解是

答：这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶．

上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：

(1)选择哪个方框代入另一个方框？其目的是什么？

(2)如何用代入法处理两个未知数系数的绝对值均不为1的二元一次方程组？

(3)列二元一次方程组解应用题的关键是：找出两个等量关系．

(4)列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：审、设、列、解、检、答．

四、巩固练习

1．二元一次方程组的解是(

)

A.

B.

C. D.

2．方程组的解是(

)

A.

B.

C.

D.

3．解方程组

【答案】

1．A

2.B

3．解：由①得x＋3＝3y，即x＝3y－3，③

由②得2x－y＝4，④

把③代入④得y＝2.

把y＝2代入③得x＝3，

因此原方程组的解为

五、课堂小结

你从本节课的学习中体会到代入法的基本思路是什么？主要步骤有哪些？让学生在互相交流的活动中完成本节课的小结，并能通过总结与归纳，更加清楚地理解代入消元法，体会代入消元法在解二元一次方程组的过程中反映出来的化归思想．

教学反思

通过创设有趣的情境，引发学生自觉参与学习活动的积极性，使知识的发现过程融于有趣的活动中，重视知识的发生过程．将设未知数列一元一次方程的求解过程与二元一次方程组比较，从而得到二元一次方程组的代入(消元)解法，这种比较可使学生在复习旧知识的同时，使新知识得以掌握，这对于学生体会新知识的产生和形成的过程是十分重要的．

第2课时

加减消元法

教学目标

知识与技能

1．掌握用加减法解二元一次方程组．

2．使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法．

教学重点

如何用加减法解二元一次方程组．

教学难点 如何运用加减法进行消元．

教学过程

一、情景导入

教师提出问题：

王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨，共花了14元，李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨，共花了12元，梨每千克的售价是多少？比一比看谁求得快．

教师总结最简便的方法：

抵消掉相同的部分，王老师比李老师多买了1千克的梨，多花了2元，故梨每千克的售价为2元．

二、例题讲解

教师板书：

解方程组 (由学生自主探究，并给出不同的解法)

解法一：

由①得x＝，代入方程②，消去x.

解法二：

把2x看作一个整体，由①得2x＝－1－3y，代入方程②，消去2x.

教师肯定两种解法都正确，并由学生比较两种方法的优劣．

由学生观察，得出结论：

解法二整体代入更简便，准确率更高．

教师启发：

有没有更简洁的解法呢？

问题1：观察上述方程组，未知数x的系数有什么特点？(相等)

问题2：除了代入消元，你还有别的办法消去x吗？

(两个方程的两边分别对应相减，就可消去x，得到一个一元一次方程．)

解法三：

①－②得：8y＝－8，

所以y＝

－1.代入①或②，得x＝1.

所以原方程组的解为

变式一：解方程组

教师启发：

问题1：观察上述方程组，未知数x的系数有什么特点？(互为相反数)

问题2：除了代入消元，你还有别的办法消去x吗？

(两个方程的两边分别对应相加，就可消去x，得到一个一元一次方程．)

教师板书：

两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．

教师提问：

能用加减消元法解二元一次方程组的前提是什么？

(两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等．)

变式二：解方程组

学生观察：本例可以用加减消元法来做吗？

教师引导：

问题1：这两个方程直接相加减能消去未知数吗？为什么？

问题2：那么怎样使方程组中某一未知数的系数的绝对值相等呢？

教师启发学生仔细观察方程组的结构特点，发现x的系数成整数倍数关系．

因此：②×2，得4x－10y＝14.

③

由①－③即可消去x，从而使问题得解．

(教师追问：③－①可以吗？怎样更好？)

变式三：解方程组

教师提问：

本例题可以用加减消元法来做吗？

让学生独立思考，怎样变形才能使方程组中某一未知数的系数的绝对值相等呢？

分析得出解题方法：

解法一：通过①×3、②×2，使关于x的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．

解法二：通过①×5、②×3，使关于y的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．

教师追问：

怎样更好呢？

通过对比，学生自己总结出应选择方程组中同一未知数系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元．

解后反思：用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等且不成整数倍的二元一次方程组时，把一个(或两个)方程的两边乘以适当的数，使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为第一类型的方程组求解．

师生共析：

1.用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．

2．用加减法解二元一次方程组的一般步骤：

第一步：如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．

第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等，再加减消元．

第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简，再作如上加减消元的考虑．

【例】

2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h共收割小麦8 hm2.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？

分析：如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2和y hm2，那么2台大收割机和5台小收割机同时工作1 h共收割小麦________hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作1 h共收割小麦________hm2.由此考虑两种情况下的工作量．

解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2和y hm2.

根据两种工作方式中的相等关系，得方程组

去括号，得

②－①，得

11x＝4.4.

解这个方程，得

x＝0.4.

把x＝0.4代入①，得

y＝0.2.

因此，这个方程组的解是

答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4 hm2和0.2 hm2.

上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：

三、巩固练习

1．用加减法解下列方程组时，你认为先消去哪个未知数较简单，填写消元的方法．

(1)消元方法：________．(2)消元方法：________．

2．用加减法解下列方程组：

(1)

(2)(3) (4)

【答案】

1．(1)①×2－②消去y

(2)①×2＋②×3消去n

2．(1) (2) (3) (4)

四、课堂小结

本节课，我们主要学习了二元一次方程组的另一种解法——加减消元法，通过把方程组中的两个方程进行相加或相减，消去一个未知数，化“二元”为“一元”，请同学们回忆：加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么？用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？

教学反思

在学习加减法解题之前，学生已经知道了代入法解二元一次方程组的核心是代入“消元”，以使二元方程转化为一元方程求解．本课设计没有直接告诉学生加减法解题的过程，而是通过引导学生观察不同方程组的结构特点，比较不同解法的优劣，自己探索发现解题的技巧．这样使学生积极地参加到学习的过程中，不仅能感受到学习的乐趣，更重要的是在这种积极求索的学习中，品尝到了成功的喜悦，促使其能力得到充分的发挥、提高.