正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系优秀教学设计内容

24.3 正多边形和圆

一、内容和内容解析

1．内容

正多边形和圆的有关概念，半径、边长、边心距之间的等量关系，正多边形的画法．

2．内容解析

前面研究了点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、三角形的外接圆和内切圆。正多边形也是生活中常见的图形，生活中许多设计都呈现出正多边形的形状，正多边形和圆的关系密切，因此教科书接下来安排了正多边形和圆的内容。其中正多边形和圆中的半径、边心距、边长是把正多边形和圆紧密联系在一起的桥梁，也是进行计算的前提．

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：正多边形的有关计算．

二、目标和目标解析

1．目标

1．学习正多边形的概念，探索正多边形和圆的关系．

2．了解正多边形的中心，半径、边心距、中心角之间的关系，能进行正多边形的有关计算．

2．目标解析

达成目标（1）的标志是：理解正多边形和圆的关系，知道把圆分成相等的一些弧，就到这个圆的内接正多边形。

达成目标（2）的标志是：理解正多边形的边长、半径、边心距和中心角等概念，会计算正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长、面积。

三、教学问题诊断分析

学生在初一时已经学过了正多边形的相关知识，圆的知识是正在学的内容，学生掌握较好。把正多边形和圆联系在一起直觉上是可以接受的，但说出数学缘由是有难度的。特别是找出正多边形的外接圆和内切圆的方法学生很难想到。当知道了外接圆和内切圆与正多边形之间的关系时，也就找到了外接圆半径、内切圆半径和边长及每一个边所对圆心角之间的关系。

本节课的难点是：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、边心距、•边长之间的关系．

四、教学过程设计

1.复习旧知

问题1

（1）什么叫做正多边形？矩形是正多边形吗？菱形是正多边形吗？为什么？

（2）

一个圆对折再对折，折出一个扇形，剪掉扇形最长的弦，把剩下的图形展开，得到了什么图形？再拿一个圆用上述方法对折四次，最后展开的图形是什么图形？怎么证明你的结论？

师生活动：问题1(1)由学生口答，总结出正多边形要各边都相等，各角都相等，两个条件缺一不可。问题2建立圆和正多边形的关系。并运用问题1得到的结论证明问题2. 追问：①圆有内接正四边形、正八边形，那能找到圆内接正三角、正五边形、正六边形吗？怎么才能找出来？②所有的正多边形都有外接圆吗？如果有，那所有的正多边形有内切圆吗？

师生活动：学生从直观感受都认为可以找到圆内接正三角、正五边形、正六边形，同时也认为任何正多边形都有外接圆也有内切圆，但是无法证明自己的结论。

设计意图：问题1为后面找圆内接正多边形做准备。问题2把正多边形和圆建立联系，并能运用旧知识证明它们之间的关系。追问为本节课设疑，引起学生兴趣。

2.互动探究

问题2(1)以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出哪些线段相等，你能总结出什么结论？

(2)所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？

师生活动:(1)由老师引导学生根据正四边形的两组对称轴找到正多边形的外接圆和内切圆,并且它们是同心圆.同时引出是不是所有的正多边形都有外接圆和内切圆这一问题.(2)由学生分组讨论，利用正多边形的轴对称性找出它们的外接圆和内切圆。

设计意图：

这一教学内容是用一回答前面我们提出的问题的第2 个，即所有的正多边形都有外接圆也有内切圆，并且正多边形的外接圆和内切圆是同心圆。引出下面的概念，并为研究正多边形中半径，边心距，边长提供的直观图和解题思路。

追问：正多边形的外接和内切圆是同心圆，它们的圆心很特别，外接圆的半径和内切圆的半径也恰巧在正边形的对称轴上，为了今后学习和应用的方便，•我们有如下定义：

（1）正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．

（2）外接圆的半径叫做正多边形的半径．

（3）正多边形每一边所对的圆心角叫正多边形的中心角．

（4）中心到正多边形的边的距离叫正多边形的边心距．

练习：（1）完成下面的表格：

正多边形

内角

外角

中心角

n

总结：正多边形的外角等于它的中心角

（2）完成下面的表格：

正多边形

半径

边长

边心距

周长

面积

２

２

２

3.归纳方法

圆内接正边形的辅助线的方法：

O

C

M

1.连半径，得中心角；2.作边心距，构造直角三角形. 设计意图：总结经验，归纳解题方法，提供解题思路。

4.学以致用，巩固新知

1.如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：

①它的中心角等于

度

；

②

OC

BC

(填＞、＜或＝）；③△OBC是

三角形；

④圆内接正六边形的面积是

△OBC面积的

倍. ⑤圆内接正n边形面积公式:_______. 2.如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是

（

）

A．60°

B．45°

C．

36°

D．

30°

3. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.

4. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是

.

5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．

设计意图：巩固正多边形和圆中半径、边心距、边长、中心角之间的关系，总结此类题的思考方法。

5.

归纳小结，反思提高

弦相等（多边形的边相等）

弧相等

正多边形的对称性

正多边形的性质

设计意图：引导学生归纳本节课的知识点，疏理概念及计算方法。

6.

布置作业: 作业纸半张。

正多边形的有关计算

中心角

添加辅助线的方法：连半径，作边心距

圆周角相等（多边形的角相等）

中心

正多边形的有关概半径

边心距

五、目标检测设计

一、选择题

1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（

）．

A．60°

B．45°

C．30°

D．22．5°

(1)

(2)

(3)

2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（

）．

A．36°

B．60°

C．72°

D．108°

3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（

）

A．18°

B．36°

C．72°

D．144°

二、填空题

1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．

2．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．

3．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，•如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是___

____；∠BOC的度数是________．

三、综合提高题

1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．

2．如图所示，•已知⊙O•的周长等于6cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．

3．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．

（1）求证：四边形CDEM是菱形；

（2）设MF2=BE·BM，若AB=4，求BE的长．