利用完全平方差公式进行因式分解PPT及专用教学设计内容

●课 题: 运用公式法（二）

银川十四中 孙卫平

●教学目标

（一）教学知识点

1.使学生会用完全平方公式分解因式. 2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式. （二）能力训练要求

在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力. （三）情感与价值观要求

通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力. ●教学重点

让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法. ●教学难点

让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式. ●教学方法

观察—发现—运用法

●教具准备

投影片两张

第一张

第二张

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？

在前面我们不仅学***方差公式

（a+b）（a－b）=a2－b2

而且还学***方公式

（a±b）2=a2±2ab+b2

本节课，我们就要学***方公式分解因式. Ⅱ.新课

1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点. ［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？

［生］可以. 将完全平方公式倒写：

a2+2ab+b2=（a+b）2; a2－2ab+b2=（a－b）2. 便得到用完全平方公式分解因式的公式. ［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点. ［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解. ［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；

（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；

（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍. 右边的特点：这两数或两式和（差）的平方. 用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个

数的和（或差）的平方. 形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式. 由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法. 投影

练一练

下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a+4; （2）x2+4x+4y2; （3）4a2+2ab+（4）a2－ab+b2; （5）x2－6x－9; （6）a2+a+0.25. ［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍. ［生］（1）是. （2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；

（3）是；

（4）不是.ab不是a与b乘积的2倍. （5）不是，x2与－9的符号不统一. （6）是. 2.例题讲解

［例1］把下列完全平方式分解因式：

（1）x2+14x+49; （2）（m+n）2－6（m +n）+9. ［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式. 解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2

（2）（m

+n）2－6（m

+n）+9=（m

+n）2－2·（m

+n）×3+32=［（m

+n）－3］2=（m +n－3）2. ［例2］把下列各式分解因式：

（1）3ax2+6axy+3ay2; （2）－x2－4y2+4xy. ［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式. 如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式. 解：（1）3ax2+6axy+3ay2

=3a（x2+2xy+y2）

=3a（x+y）2

（2）－x2－4y2+4xy

=－（x2－4xy+4y2）

=－［x2－2·x·2y+（2y）2］

=－（x－2y）2

Ⅲ.课堂练习

a.随堂练习

1.解：（1）是完全平方式

x2－x+12b; 412111=x－2·x·+（）2=（x－）2

4222

（2）不是完全平方式，因为3ab不符合要求. （3）是完全平方式

12m+3 m n+9n2

411=（ m）2＋2× m×3n+（3n）2

221=（ m +3n）2

2（4）不是完全平方式

2.解：（1）x2－12xy+36y2

=x2－2·x·6y+（6y）2

=（x－6y）2; （2）16a4+24a2b2+9b4

=（4a2）2+2·4a2·3b2+（3b2）2

=（4a2+3b2）2

（3）－2xy－x2－y2

=－（x2+2xy+y2）

=－（x+y）2; （4）4－12（x－y）+9（x－y）2

=22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2

=［2－3（x－y）］2

=（2－3x+3y）2

b.补充练习

投影片

把下列各式分解因式：

（1）4a2－4ab+b2; （2）a2b2+8abc+16c2; （3）（x+y）2+6（x+y）+9; mn2m2（4）－+n; 6144（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9; 12y24（6）xy－x－

5100解：（1）4a2－4ab+b2=（2a）2－2·2a·b+b2=（2a－b）2; （2）a2b2+8abc+16c2=（ab）2+2·ab·4c+（4c）2=（ab+4c）2; （3）（x+y）2+6（x+y）+9 =（x+y+3）2; mn2mmmm2（4）－+n=（）2－2××n+n2=（－n）2; 1212126144（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9 =［2（2a+b）］2－2×2（2a+b）×3+32

=［2（2a+b）－3］2

=（4a+2b－3）2; 12y24（6）xy－x－ 510012y24=－（x－xy+）

5100

=－［（x2）2－2·x2·=－（x2－yy+（）2］

1010y2）

10Ⅳ.课时小结

这节课我们学***方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：

（1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负. 同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式. Ⅴ.课后作业

习题4.5 Ⅵ.活动与探究

写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式. 分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a和b；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解. 参考答案：

4a3b－4a2b2+ab3

=ab（4a2－4ab+b2）

=ab（2a－b）2

●板书设计

§2．3．2 运用公式法（二）

一、1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点

投影片（§2.3.2 A）

2.例题讲解

例1、例2 二、课堂练习

a.随堂练习

b.补充练习（投影片§2.3.2 B）

三、课时小结

四、课后作业