2.2.1 椭圆的标准方程板书设计

椭圆的标准方程教案

教学思想

在新课程理念指导下，运用多媒体教学手段，设置情景化教育模式，通过师生合作探究、学生自主研究、独立思考、小组协作等过程，培养学生观察、猜想、运算能力；感受数学对称美、简洁美、和谐美；培养爱国主义情感。

教学目标

⑴知识目标：理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会求椭圆的标准方程。

⑵能力目标：通过推导椭圆的标准方程，帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用；在相互交流学习中，使学生养成表述、抽象、总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知过程中进行合作推理的能力，及应用代数知识进行同解变形和化简的能力。

⑶情感目标：在平等的教学氛围中，让学生体验数学学习的成功与快乐，增加学生的求知欲和自信心；培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。

重点、难点及关键

重点：椭圆的标准方程的应用；

难点：椭圆标准方程的推导；

教学方法

启发、探索、合作探究

教学手段

运用多媒体辅助教学

教学过程

㈠

创设情景、引入课题

2005年发生了一件令中华儿女非常自豪的事情，

“神舟六号”成功完成了飞行任务，并顺利返回地面。

现在我们大家一起来重温一下当时的场景。

播放课件

我们已经清楚地知道人造飞船绕地球运行的轨迹是什么？

如果科学家们要测控飞船在某一时刻的具体位置，就必须借助飞船运行的轨迹方程，这就是我们今天要探究的问题----椭圆的标准方程. （目的：利用课件生动形象的演示提高学生学习兴趣、激活学生思维，使学生的注意、记忆、思维凝聚在一起，加强学生对椭圆形象的认识，提高参与程度，让学生认识到学习椭圆的必要性，引出课题．）

㈡

标准方程的推导

师：

请大家回忆圆的标准方程的获得。

给出圆的两种不同建系方式，比较所得方程的优劣。

（方程是否简洁取决于建系是否恰当）

要研究椭圆的方程该怎样建系呢？

（学生活动：利用自己制作的椭圆通过折叠来发现如何建系比较恰当。结合建立坐标系的一般原则——使点的坐标、几何量的表达式简单化，并且从“对称美”、“简洁美”的角度出发作一定的点拨）

⑴建系：以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy．

师：建立坐标系的一般原则——使点的坐标、几何量的表达式简单化，并且从“对称美”、“简洁美”

1

方案1：如图，焦点落在x轴上

设椭圆的两个焦点分别为F1,F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1,F2的距离的和为2a（2a2c）

⑵设点：设点P（x，y）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1c0、F2c,0．

师：

如何寻找椭圆上任意一点p的坐标满足的怎样的关系？

演示几何画板（学生讨论）

⑶列式：

|PF1| + | PF2| = 2a

（2a2c），并将其坐标化为

xc2y2xc2y22a．

（目的：教学生学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。）

师：

如何化简该等式呢？

生：

两边同时平方或先移项再平方

师：

哪一种更易操作呢？

（这是一个比较复杂的根式变形，化简的关键在于将根式去掉，而去根式则要两边平方，那怎样平方去根式会较简单？）

⑷化简：（学生板书）通过移项、两次平方后得到：a2c2x2a2y2a2a2c2

师：

为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令b2a2c2，得椭圆的标准方程

x2y21ab0．

a2b2先让学生尝试化简，然后教师指出含有根式的化简规则．

总结含有根式的化简步骤：

（1）方程中只有一个根式时，需将根式单独留在方程的一边，把其他项移到方程的另一边，然后两边平方；

（2）方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只有一项，再两边平方．

2

方案2：如图，焦点落在y轴上

师：

试想：推断此时椭圆的标准方程又是什么？

x2y2

焦点F10,c、F20,c，焦距为2c，椭圆的方程为221ab0

ba师：

请同学们观察归纳两个方程的特征，从而区别焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程；令b2a2c2渗透数学对称美，简洁美教学．归纳出方程的形式特征。

（1）“=”右边为1；

（2）用“+”连接两项

快速反应（学生活动）

x2y21的焦点在 轴上，a ,b ；

（1）

椭圆259x2y21的焦点在 轴上，a ,b ；

（2）

椭圆37思考：如何判断椭圆的标准方程的类型？

（3）

椭圆4x29y236的焦点在 轴上，a ,b ；

例1：⑴ 已知a4,b3，求焦点分别在x、y轴上的椭圆的标准方程．

⑵ 已知a5,c3，求椭圆的标准方程．

师：

设椭圆方程要注意焦点的位置与方程形式的关系

思考：求椭圆的标准方程需知几个量

（目的：同步练习，检测学生的掌握情况，及时反馈，强化知识点的学习，为下节课内容的学习打好基础；加深对所学知识的理解和运用，使学生掌握基础知识，利于学生思维能力的培养。）

例2：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程．

分析：建系----设方程----求基本量a,b----写出方程----作答

解：以两焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xoy，则这个椭圆的标准方程可设为

x2y2

221ab0．

ab

3

根据题意知2a3，2c2.4，即a1.5，c1.2，所以

21.521.20.

81

b2a2c2，

因此，这个椭圆的标准方程为

x2y2

1．

2.250.81

师：归纳解椭圆方程的一般步骤及注意点

目的：⑴进一步熟悉椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系；

⑵掌握求椭圆的标准方程的方法，解题时强调“二定”即定位定量；

⑶培养学生运用知识解决问题的能力。

x2y21

上一点,P到左焦点的距离为3, 则P到右焦点的距离为

. 练习：1. P是椭圆

169x2y21表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是

. 2.方程25m16m3.两个焦点分别是F1( 0, –2) ,

F2( 0, 2),且过点P( 35,) 的椭圆的标准方程. 22

(三) 课堂小结

今天我们学习了什么？

（学生归纳）

⑴椭圆的标准方程要注意焦点的位置与方程形式的关系；

⑵用坐标法研究曲线；用运动变化的观点分析问题．

. (四)作业

（1）课本习题

1，2 （2）你能根据“神州六号

”前五圈运行时近地点高度200.65km和远地点高度344.725km,求出其轨道方程吗?假如不能，还要增加什么条件? x2y21

表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是

. （3）

方程

25m16mx2y21

表示椭圆,则实数m的取值范围是

.

（4）方程25m16m板书设计

§2.2.1 椭圆的标准方程（一）

一、椭圆的两个标准方程

二、求曲线方程的基本步骤

三、椭圆标准方程的应用

4