6.4 反三角函数多媒体教学设计及其点评

6.4《反正弦函数》教案

一、教学目标

（1）理解反正弦函数的概念，知道它的图像和性质；

（2）掌握等式

；

（3）会用类比、数形结合等思想分析和思考问题. 二、教学重点难点

重点：

（1）经历在三角函数的某个区间上建立反三角函数的过程；

（2）会用反三角函数的值表示角的大小. 难点：理解反正弦函数的概念以及它的符号的本质. 三、教法与教具

通过提问引导、多媒体教具及类比研究，激发学生的学习兴趣，引导学生自主学习、自主思考。

四、教学流程设计

巩固、反馈、总结、反思、作业

应用举例(求特殊值的反正弦函数值，用反正弦函数值表示角，运用反正弦等式化简或求值) 正弦函数的图像与性质

反正弦函数的

图象与性质

互为反函数

的两个函数

的图像特征

反正弦函数的概念

（

师生讨论、探究、提炼概念）

五、教学过程

复习提问：指数函数

且

存在反函数，且其反函数为对数函数

且

. 那么一元二次函数

存在反函数吗？

【提问】是否所有的的函数都存在反函数呢？

[说明] 只有一一对应的函数才存在反函数.

【提问】互为反函数的两个函数有什么关系？

[说明] 原函数的定义域是反函数的值域；原函数的值域是反函数的定义域；互为反函数的两个函数图像关于直线y=x对称.

【思考】正弦函数y=sinx,x

存在反函数吗？

[说明] 不存在。如上图所示，作直线

与正弦函数y=sinx,x

的交点有无数个，所以正

弦函数不是一一对应关系。

【思考与讨论】

我们应该选取怎样的区间，使得y=sinx存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）y=sinx在所取的区间上存在反函数；（2）能取到y=sinx的一切函数值[-1,1].

[说明] 有无数个这样的区间，闭区间

符合上述条件，函数y=sinx,x

的反函数就是今天要学习的反正弦函数.

【思考】如何求函数y=sinx,x

的反函数？

[说明]

师生共同复习求一个函数的反函数的基本方法步骤，在讨论x怎么用y表示时，引出反正弦函数符号arcsinx. 若函数yf(x),xD存在反函数，则可按以下步骤求它的反函数

（1）反求：由yf(x)反求得xf1(y)

（2）交换：交换x,y的位置得yf1(x)

（3）求定义域：求原来函数的值域即得反函数的定义域。

仿此过程类比：反正弦函数的解析式

定义：函数y=sinx,x

的反函数叫做反正弦函数，

记作

. 它的值域是

.

【定义解析】

arcsinx(|x|

)：

(1)

它表示一个角

；

(2)

这个角

的范围是

；

(3)

这个角

的正弦值为x,即sin(arcsinx)=x.

【提问】研究函数的方法？

[说明] 函数的图像和性质.

(1)

图像.（因为是反函数关系，所以先研究它的图像）

它的图像与y=sinx,x

的图像关于直线y=x对称，如下图所示.

(2)

性质，（有了函数图像，可以直观得出函数的性质）

【例题精讲】（函数的运用）

例1：求下列反正弦函数的值

(1)

解：(1)令

因为

，则

;

(2) ;

(3)

;

，

，所以

。（再一次强调这样的只有一个）

(2) 令

因为

,所以

；

(3) 令

因为

,所以

.

引申：由(3)可知，

=

, 以下等式是否成立？

例2：判断下列各式是否正确. (1)

(2)

(3)

解：(1)因为

, 错误；

(2)当k=1时，



错误；

(3) 因为

, 错误.

例3：利用反正弦函数值的形式表示下列各式中的

(1)

(2)

(3)

；

(4)

;

解：(1)

(3)

或

(2)

;

或

;

(4)

.

例4：化简下列各式

(1)

(2)

(3)

解：(1) 令

因为

, 所以

; (2) 令

因为

所以

;

(3) 令

因为

, 所以

.

【注】

(1)当

时，有

(2)当



时

取

使其满足sin

,于是有

.

六、小结

1.反正弦函数的图像

2.反正弦函数的性质

3.数学思想

七、思考题

1.证明

是奇函数，即

. 2.证明

是增函数.

八、作业

校本《反正弦函数》

九、板书设计

6.4反正弦函数

研究函数的一般方法

函数三要素：定义：

；

二、函数的图像

三、函数的性质

定义域：

单调性：

值域：

周期性：

最值：

零点：

奇偶性：

对称性：