5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切ppt课件教学实录

基于HPM视角下的两角和正余弦展开公式由来的研究

华东师大二附中数学组

蔡东山

一、内容及其解析

本节的内容是基于HPM视角下的两角和与差的正弦、余弦展开公式的由来的研究，从三角学的历史来复述公式的由来，主要内容是公式的推导。这一部分的知识是在前面三角比定义和诱导公式的基础上学习的，学习这一部分的内容的关键是要理解透前面的知识，进而推导两角和与差的正弦、余弦公式。学习这一部分的内容要熟悉各个公式及其推导过程，并熟悉内在联系。

二、目标及其解析

（一）目标定位

（1）了解两角和与差的正弦、余弦公式的由来；

（2）逐步掌握公式的推导过程；

（2）会简单应用公式，在应用中要会理解公式. （二）目标解析

（1）两角和与差的余弦公式：

coscoscossinsin；coscoscossinsin．

两角和与差的正弦公式: sincoscoscoscossinsin2222sincoscossin．

sinsinsincoscossinsincoscossin（2）要熟记两角和与差的正弦、余弦公式的结构特征。

三、问题诊断分析

在本节主要存在的问题是学生难以理解正弦公式推导过程，而且公式推导过程容易忘记。产生这一个问题的原因是学生前面学习的知识没有掌握好，忘记了正弦与余弦之间存在的一些关系。这样老师只能是边讲边回顾，尽可能让学生理解，最后达到应用的效果。

四、教学支持条件分析的一般模式

在本节课的教学中为了加大教学容量准备使用多媒体辅助教学，同时准备了三角形图片，以便同学通过合作拼图得出经典的证明结论。

五、教学过程

由类似勾股定理的方法得出两角和的正余弦展开公式。给学生四个三角形图片，让学生分组讨论出结果。

sin(+)=sincos+sincos(coscos)(sinsin)

sin(+)=sincoscossin

(sin+sin)(cos+cos)sincos+sincossin()

sin(+)=sincoscossin

1111(sin+sin)(cos+cos)sincos+sincossin()

2222sin(+)=sincoscossin

19世纪法国数学家萨吕斯（1798-1866）在《纯粹与应用数学年刊》发表论文。

利用单位圆的弦长来推导。

|BC|2Chord2()(coscos)2(sinsin)222(coscos+sinsin)=0Chord222cos

Chord2()22cos()

cos()coscossinsin

1941年美国数学家麦克肖恩在《美国数学月刊》发表论文，利用单位圆，推导出任意角的两角和正余弦展开公式。

C(cos,sin),B(cos,sin),D(cos(),sin()),A(1,0)

|CB||DA|

|CB|2(coscos)2(sinsin)222(coscossinsin)

|DA|2[cos()1]2[sin()0]222cos()

cos()coscossinsin

再利用诱导公式，得出两角和与差四组公式。

sin()sincoscossinsin()sincoscossincos()coscossinsincos()coscossinsin

例题1：求sin15,cos15,sin75,cos75的值. 例题2：已知cos,(0,)，求sin(例题3：已知cos(

六、课堂小结

1、HPM是Hisory and Pedagogy of Mathematics的缩写。HPM组织源自1972年，隶属于国际数学教育委员会，专门研究数学史和数学教育之间的关系。

2、对三角学的两角和与差的正余弦展开公式的由来的历史有一定的了解，钦佩无数的数学爱好者为了数学之美而奋斗。

3、先是从特殊再到一般的研究方法。

用类似勾股定理的证法推导出两锐角和与差正余弦展开公式，然后再到1941年单位圆推导出任意角的两角和与差的正余弦展开公式。

4、培养直观想象能力与推理能力。

HPM有利于帮助我们加深对数学概念，方法和思想的理解，培养创造性思维能力。

HPM的研究价值归纳起来：

（1）有利于帮助学生加深对数学概念，方法和思想的理解，培养学生的创造性思维能力；

（2）有利于帮助学生了解数学的应用价值和文化价值，从而增强学生学习数学的动力；

但是对HPM的认识不能仅仅局限于此，更重要的是要把这种理念贯彻到教学实践中去。不能把数学史作为数学教学内容之外的部分，要把数学史和数学纸质的教学作为一个有机整体。

课后拓展：

356)的值。

1),(0,)，求cos的值。

642

1、帕普斯公式

CCsin

sinB1B1Ocos+DAODcos

cosA

cos()ODODOAADOAEBOAOBcoscoscosEBBCsinsinsincos()coscossinsin2、托勒密定理

BDACABCDADBC

AE=cos(+),ABcos,EDcos,ADsin,BEsincos(+)=coscossinsin

课后思考习题：

1、已知sin(+)11tan,sin()，求的值．

210tan2、已知8cos(2)5cos0，求tan()tan的值．