反证法教学实录与评析

教学目标

：

知识与技能：

1.

通过实例体会反证法的含义．

2.了解反证法的基本步骤。

3.会用反证法证明简单的命题．

过程与方法：

使学生经历“总结归纳反证法的操作步骤”的过程，培养学生归纳、总结、推理论证的能力．增强学生的数学应用意识和创新意识．

情感、态度与价值观：

利用现实生活和数学中的反证法素材和具有挑战性的情境激发学生求知、探索的欲望．

重点：运用反证法进行推理论证

难点：反证法的证明思路．

教学过程：

一、情景导入：

活动一：情境引入(投影)他运用了怎样的推理方法？在古希腊时有三个哲学家由于争论和天气的炎热感到疲倦于是就在花园里的一棵大树下睡着了．这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额学生思考初步认识反证法．)设计意图：通过生动有趣的故事引入新课培养学生学习兴趣激发学生求知、探索的欲望初步认识反证法．

活动二：故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果

子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李。

王戎是怎样知道李子是苦的?他运用了怎样的推理方法? 假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路的人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实矛盾？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？所以，李子是苦的。

我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维。反证法是数学中常用的一种方法．人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界。

那么什么叫反证法呢？（板书课题）

二、新知探究: 实践应用，知识迁移

问题：在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C.如何说明呢？

教师提出问题引导学生合作交流、归纳总结进一步认识反证法

探究一、在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.

用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的。这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定。既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。[来源:学*科*网Z*X*X*K]

归纳一下用反证法证题的步骤．

①假定结论不成立（即结论的反面成立）；（反设）

②从假设出发，结合已知条件，经过推理论证，推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾，由矛盾判定假设不正确；（归缪）[来源:学科③肯定命题的结论成立（结论）

快乐尝试 相信自己

你能说出下列结论的反面吗? （1）a≠0 （2）b是正数

（3）a⊥b ( 4 ) 至少有一个

三、变式训练

1、“a＜b”的反面应是（

）

（A）a≠＞b

（B）a ＞b

（C）a=b

（D）a=b或a ＞b 2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应如何假

设？

___________________________________ 3.（中考变式题）用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中（ ）

A、有一个内角小于60° B、每一个内角都小于60°

C、有一个内角大于60° D、每一个内角都大于60°

准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式.

等于 都是 对所有x成立 任意的 至少有一个 至多有一个 至少有n个 四、巩固新知：

用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．

分析：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论. 已知：在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B、∠C为锐角. 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：

(1)两个底角都是直角；

(2)两个底角都是钝角；

说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定

命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解. 试一试：用反证法证明（填空）:在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°. 已知: ∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. 求证: ∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°. 证明: 假设所求证的结论不成立，即

∠A ___ 60°

，∠B ___ 60°

，∠C ___60°

则∠A+∠B+∠C < 180°. 这与________________________________相矛盾. 所以______不成立，所求证的结论成立. 例：求证：经过A、B、C三点不能作一个圆。

分析：按照反证法的步骤，先假设过A、B、C三点可以作一个圆，然后由这个假设出发推下去，得出矛盾．

证明：假设过A、B、C三点可以作圆，设这个圆的圆心为O，显然A、B、C三点在这个圆上，所以OA＝OB＝OC，由线段的垂直平分线的判定定理可以知道，O点既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，也就是说，O点是l1和l2的交点，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。

所以，过同一条直线上的三点不能作圆。

试一试：

已知：如图，直线a,b被直线c所截，

1cab ∠1 ≠

∠2 2

求证：a∥b 证明：假设结论不成立，则a∥b ∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等) 这与已知的∠1≠∠2矛盾

∴假设不成立

∴a∥b 学以致用：

用反证法证明“两直线平行，同位角相等”

规律归纳：

反证法常用于解决命题的种类：

（1）直接证法不易证明或不能证明的命题；

（2）命题的结论是否定型的；

（3）命题的结论是无限型的；

（4）命题的结论是“至多”或“至少”型的. 用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？

（1）与原命题的条件矛盾；

（2）与假设矛盾; （3）与定义、公理、定理、性质矛盾；

（4）与客观事实矛盾. 五、应用体会

美国总统是如何抓小偷的？

美国总统华盛顿从小非常聪明,小偷翻进鲍克家偷走了许多东西,根

据迹象表明小偷就是本村人,华盛顿灵机一动,对全村人讲起了故事:“黄蜂是上帝的使者,能辨别人间的真假.”忽然华盛顿大声喊道:“小偷就是他，黄蜂正在他的帽子上兜圈子，要落下来了！”大家回头张望，看着那个想把帽子上的黄蜂赶走的人，其实哪有什么黄蜂？华盛顿大喝一声：“小偷就是他！”

你知道华盛顿是如何推理的吗？

快乐驿站：我来当警察

警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：

Ａ说：这里有１个人说谎．

Ｂ说：这里有２个人说谎．

Ｃ说：这里有３个人说谎．

Ｄ说：这里有４个人说谎．

Ｅ说：这里有５个人说谎．

六、总结归纳

同学们，学了这节课，你们有何收获与体会？

（1）引导学生作知识总结，学习了反证法证题的思路与步骤. （2）教师扩展：在直接法无法证明或很难证明的情况选用反证法. (教师点评总结方法．学生总结发言．)设计意图：加强教学反思进一步提高教学效果．

作业: 收集反证法在生活中应用的例子，在班上交流.。

生活离不开数学，数学离不开生活，数学知识源于生活而最终服务于生活。