24.1 圆优质课一等奖

第2课时 《垂直于弦的直径》教学设计

钟村奥园学校 蔡结明

【教材分析】

本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。

【教学目标】

知识目标：

使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。

方法与过程目标：

经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。

情感态度与价值观目标: 在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。

【重点难点】

重点：垂径定理的推导和应用.

难点：利用垂径定理解决实际问题.

【学习导航】

一、探究·研讨

环节一：探究“圆的对称性”

1．同学们，你能找出圆形纸片的圆心吗？说一说你的方法. 设计意图：通过动手操作，体会圆的对称性，并理解圆的对称轴是过圆心的直线。

2．问题：圆纸片折叠时，两个半圆 . 由此可知：

3．强化理解：

1、圆有 条对称轴。

2、右图中，⊙O的对称轴是（ ）

A、AE所在直线 B、AD所在直线 C、AD和BC所在直线 D、AE和AD 所在直线

圆是 图形

，其对称轴是任意一条过 的直线. 设计意图：加强对圆的对称性的理解。

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环节二：探究“垂径定理”

1．动手操作，观察猜想：如图，AB是圆形纸片⊙O的一条弦: （1）请你作直径CD⊥AB于M. （2）图中有哪些相等的线段（半径除外）和弧？说一说你的AOB理由. 相等的线段： ；相等的弧： . 由此可知：

垂径定理：如果直径 弦，那么这条直径

这条弦，并且

弦所

对的 . C几何语言表达：（如右图）

∵CD为直径（或过圆心），CD⊥AB ∴AM＝ 、AD＝ 、

AC＝ . AOMB设计意图：培养学生的观察能力和数学归纳能力。

2．强化理解：

下列图形能否利用垂径定理？为什么？

CDCCOAMDBOAMDBAOMDBOAMB

（ ） （ ） （ ） （ ）

（1）过圆心得到结论（1）弦被平分（线段相等）所以，某线满足条件：

（2）垂直于弦（2）弧被平分（弧相等）设计意图：强化对垂径定理的理解，明确使用垂径定理的条件和所得结论。

环节四：典例分析

【例1】如图，AB是⊙O的弦，OM⊥AB于点M，若半径为5，OM＝1，

则弦AB的长为（

）

A．2

B．3

C．4

D．5 AOMB设计意图：让学生掌握利用垂径定理求弦长的一般思路。

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【例2】如图，有一座石拱桥，它的主桥拱是圆弧形AB，它的跨度

（弧所对的弦的长）为24米，拱高（弧的中点到弦的距离）为8米，

求这座拱桥主桥拱的半径？

设计意图：让学生体会如何利用垂径定理解决实际问题。

总结：

A 1、解决问题常见的的辅助线：（1）过圆心作弦的垂线，（2）连结半径. 2、解题思路为：由垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解．

【巩固训练】

一、达标练习

A组

1．如图，⊙O中，若OM⊥弦AB于M，当AB＝6，

则AM＝

；当AM＝8时，AB＝

. 2．如图，⊙O中，若OC⊥弦AB于M，半径为5cm，

弦AB＝6cm，则OM＝

，CM＝

. 3．（2018•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=

4．

如图，⊙O中，若OC⊥弦AB于P，AB＝6cm，CP＝1cm，求⊙O的半径.

AOPCBAOMBC D B OAMC第2题

B第1题

设计意图：第1、2小题是垂径定理的直接运用，目的是巩固学生对垂径定理的认识和理解；

第3小题是例1的变式练习，训练学生灵活运用垂径定理，求线段的长；

第4小题和例2类似，解题思路相同，抛开实际问题的背景，降低难度，让学生先熟悉

解题思路个和步骤。

B组

1．如右图，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，M是AB上的动点，则线段OM长的最小值为

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2．如右图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若大圆的半径为5，且AB＝8，CD＝6，则小圆的半径为

．

3．已知直径是1000mm的圆柱形水管截面如图所示，若水面宽800 mm，

求此时水的最大深度. 设计意图：B组题难度有所提高，学生通过A组题，熟练

掌握垂径定理后，能力提升的训练。

二、拓展训练

1．如右图，若直径CD平分弦A B ，则：

①直径CD是否垂直于弦AB，并且平分弦AB所对的两条弧？如何证明？

②如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？

OAMDBC设计意图：在探究垂径定理的基础上，进一步探索其推论，弦AB的非直径

性，要求学生考虑问题时要注意全面性。

2．已知⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，且AB=6㎝，CD=8㎝，则弦AB、CD之间的距离为多少？

设计意图：锻炼学生分类讨论的意识。

备用圆

备用圆

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