9.4 乘法公式课堂实录【2】

9．4乘法公式（2）

【教学目标】

1.知识与技能

经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征并能熟练应用。

2.过程与方法

通过观察、操作、交流等活动发展推理能力、归纳能力及解决问题的能力。

3.情感态度和价值观

让学生经历“特殊到一般再到特殊”（即：特例─归纳─猜想─验证─用数学符号表示—解决问题）这一数学活动过程。

【教学重点】

理解公式的本质和结构特征，能用自己的语言说明公式及其特点；并会运用公式进行简单的计算.。

【教学难点】

运用公式进行计算。

【教学过程】

一、

复习回顾

多项式与多项式的乘法的法则是什么？用字母怎末表示

答案:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. (m+a)(n+b)=mn+mb+na+nb 二、情景引入：

故事：阿凡提和巴依老爷换地

大家听说过阿凡提吧？有一天，巴依老爷来找阿凡提（……投影上播放故事情节）。

问题1：大家如果把刚才的故事用数学语言抽象出来，会是什么样的问题呢？大家动脑想一想。课件展示图片

答案：假设原来阿凡提手里的土地是边长为a米的正方形，面积是a2平方米，现在一边加上五米，一边减去五米，变成了面积为(a+5)(a-5)的长方形土地。

问题2：那土地的面积到底变没变，阿凡提如果换地，会吃亏吗，这个问题你们学了这堂课的知识，就能解答了。

三、探究新课

计算：

1

(x+1)(x−1)=

。

(m+2)(m−2)=

。

(2m+1)(2m−1)=

。

答案x2-1,

-4,4

-1 问题1：观察一下这三个等式，你们发现这三个等式有什么共同的特点吗？

这三个等式的左边都是两个多项式的成绩，右面是两个平方项的差。

问题2：那这两个多项式又有什么特点呢？

两个相同的项，相加的结果和相减的结果，之后乘积。

问题3：请大家算一算：(a+b)(a−b)等于多少

得出答案：(a+b)(a−b)= a2−ab+ab−b2 = a2−b2

归纳：平方差公式：(a+b)(a−b)= a2−b2

两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差

巧记：同号项的平方减去异号项的平方。

几个常见的变体形：

乘法交换律：(a−b)(a+b)= a2−b2

加法交换律：(−b+a)(b+a)= a2−b2

问题4：你能根据图形的面积说明平方差公式吗？

我们将图中的黄色部分移动，将图形变为规则的长方形，则，这个长方形的面积为(a+b)(a-b)。而从面积的角度来讲，这两种情况下的面积其实是相等的，因此有(a+b)(a-b)= a2-b2，从这里我们也发现，平方差公式反过来也是同样成立的。

四、典例分析

【例1】运用平方差公式计算：

(5x＋y)(5x－y)；

(2n＋m)(－m＋2n)；

(3y－x)(－x－3y)；2

归纳：运用平方差公式计算时，要注意以下几点：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．

【例2】计算：

拓展题1

拓展题2

五、巩固练习

1．下列运算中，可用平方差公式计算的是(

C

) A．(x＋y)(x＋y)

C．(－x－y)(y－x)

B．(－x＋y)(x－y) D．(x＋y)(－x－y) 2．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图2)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

3．长方形的长为(2a＋3b)，宽为(2a－3b)，则长方形的面积为4a2－9b2. 4．若(m＋3x)(m－3x)＝16－nx2，则mn的值为±36. 5．计算：

3113y＋2x2x－y；

(1)224455－x－0.7a2bx－0.7a2b；

(2)66(3)(2a－3b)(2a＋3b)(4a2＋9b2)(16a4＋81b4)．

3

25925解：(1)x2－y2.

(2)0.49a4b2－x2.

(3)256a8－6561b8. 416366．运用平方差公式简算：

12(1)20×19；

(2)13.2×12.8. 33111820＋×20－＝400－＝399. 解：(1)原式＝3399(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96. 7、对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍数吗？

【解答】原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10＝10(n＋1)(n－1)．

∵n为正整数，

∴(n－1)(n＋1)为整数，即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．

归纳：要判断整式是否为10的倍数→需化简代数式→化简结果是否是10的倍数→做出判断．

六、课堂小结

本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质．运用平方差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a，第二个数b；二是两数和乘以这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法．

七、布置作业

必做作业：伴你学

选做作业：补充习题

八．板书设计

9.4乘法公式（2）

一、复习巩固

四、例1

拓展题2 二、情景引入

五、例2

巩固题

三、探究新课

拓展题1

作业

4