多边形的外角和教案和课堂实录

6.4.2多边形的外角和

导学案

学习目标

1. 理解和掌握多边形外角和定理的推导过程；

2. 能进行多边形内角和、外角和定理的综合运用. 一.自学释疑

1.一个多边形的一个顶点处，可作有几个外角，它们是什么关系？

2. 在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？

二.合作探究

探究点一

问题1：小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步.

(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，跑步方向改变的哪个角？在图中标出.

(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？

(3)在上图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？

1

小明的推理：

问题2：如果广场是六边形、八边形、n边形那会什么结果？

探究点二

问题1：过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′，

得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ,∠1+∠2＋∠3＋∠4＋∠5是多少度？

问题2：归纳

多边形的外角：

多边形的外角和：

多边形的外角和：

2

探究点三

问题1：已知一个多边形,它的内角和等于外角和的3倍,求这个多边形的边数和对角线的条数?

问题2：如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠BAD，若AE∥CF，∠BCF=60°，请你求出∠DCF的度数．并说明你的理由．

强化训练 1. 一个多边形截去一个角后,形成的另一个多边形的内角和是1 620°,则原来多边形的边数是多少？

2. 如图所示,根据图中的对话回答问题.

3

(1)内角和为2 015°,小明为什么说不可能? (2)小华求的是几边形的内角和? (3)错把外角当内角的那个外角的度数你能求出来吗?

随堂检测

1．将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是( ) A．360° B．540° C．720° D．900°

2．一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1∶4，那么这个多边形的边数为( ) A．8 B．9 C．10 D．12 3.一个多边形除一个内角外其余内角的和为1 510°,则这个多边形对角线的条数是( ) A.27 B.35 C.44 D.54 4.某花园内有一块四边形的空地如图所示,为了美化环境,现计划在以四边形各顶点为圆心,2 m长为半径的扇形区域(阴影部分)种上花草,种上花草的扇形区域总面积是(

)

A.6π m

2B.5π m C.4π m

22D.3π m

25.

已知一个多边形的内角和与外角和的比是2∶1,求这个多边形对角线的条数.

4

我的收获：

.

5

参考答案

探究点一

问题2 解：如图，根据问题1知

六边形：

∠1+∠2＋∠3＋∠4＋∠5+∠6=6×180°-(6-2) ×180°=360°

同理，八边形：

∠1+∠2＋∠3＋∠4＋∠5+∠6+∠7＋∠8=8×180°-(8-2) ×180°=360°n边形：

∠1+∠2＋…＋∠（n-1）＋∠n=n×180°-(n-2) ×180°=360°

探究点二

问题1：

解：∵∠1=∠α，∠2=∠Β，∠3=∠γ，∠4=∠δ，∠5=∠θ

∴∠1+∠2＋∠3＋∠4＋∠5=5×180°-(5-2) ×180°=360°

探究点三

问题1 解：解：设这个多边形的边数为n，则

（n-2）•180°=3×360°

解得，n=8 对角线的条数：12n（n-3）=12×8（8-3）=20 因此，这个多边形是八边形。对角线有20条

解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）×180°=360°，

6

∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=360°-180°=180°.

问题2解：∠DCF=60°，理由如下：

如图，∵∠B=90°

∴∠1+∠BCF=90°

∵∠BCF=60°

∴∠1=30°．

∵AE∥CF ∴∠2=∠1=30°

∵AE平分∠BAD ∴∠3=∠2=30°

又∵∠D=90°

∴∠3+∠4=90°

∴∠4=60°

∵AE∥CF ∴∠DCF=∠4=60°．

强化训练

1. 解：设新形成的多边形的边数为n,则有(n-2)×180=1 620,解得n=11. 若只截去多边形的一个顶点,则新多边形会多出一个顶点,此时原多边形是十边形; 若截到两个顶点,则边数未变,此时原多边形为十一边形; 若截到三个顶点,则少了一个顶点,此时原多边形为十二边形; 综上可知,原多边形的边数可以为10或11或12. 2. 解：(1)∵n边形的内角和是(n－2)·180°，

∴内角和一定是180°的倍数．

∵2

014÷180＝11…35，

7

∴内角和为2 014不可能．

(2)依题意，有2015°－180°＜(x－2)·180°＜2014°，

解得12＜x＜14，

因而多边形的边数是13. 故小华求的是十三边形的内角和．

(3)十三边形的内角和是(13－2)×180°＝1 980°，2015°－1 980°＝35°，

因此这个外角的度数为35°

随堂检测

1.D 2.C 3.C 4.C 5. 解:设这个多边形的边数为n, 由题意得(n-2)•180°=360°×2,

解得n=6, 12n（n-3）=9 所以这个多边形对角线的条数为12n（n-3）=9.

8