习题2.1教学设计方案

教案

曲线与方程----轨迹探究

专题：曲线与方程----轨迹探究

天门中学

邱志波

教学目标

知识与技能

过程与方法

1.进一步巩固求曲线的方程方法；

2.初步学会利用曲线方程研究曲线的性质；

1.通过引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决未知问题的办法；2.通过数学文化的渗透，激发学生学习数学的兴趣；

3.通过观看视频，激发学生的求知欲

情感、态度与价值观

1.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；

2.使学生感受探究式学习中探索发现的乐趣与成就感。

教学重点与难点

教学重点

教学难点

求曲线的方程，并探究其图像

利用曲线方程研究曲线的性质

教学的方法与手段

授课类型：专题复习课

教学课件：Powerpoint课件，几何画板

教学方法：启发式教学、探究式学习

多媒体设备：计算机等

教学过程

一、复习回顾

1.求曲线方程有哪些方法？

求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法. 1. 直接法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

2. 定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

3. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出

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相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。

4. 参数法：如果采用直接法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），

y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。

5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.

二、课堂探究

例1：过原点的直线与圆x2y26x50交于A,B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程，并在坐标系中画出其图像.

395(x)2y2, (x3)

243

练习1. 已知点F(1,0)，动点P到点F的距离比

到y轴的距离大1，求P点的轨迹方程，并在坐标系中画出其图像.

y24x,x0和y0,x0

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例2. 已知A(1,1)，动点P在x轴上的射影为B，动点P满足PAPO2OPOB，求P点的轨迹方程，并在坐标系中画出其图像.

x2y2xy0

，即

(xy)(xy1)0

练习2. 动点P到x轴到和y轴的距离和为1，求P点的轨迹方程，并在坐标系中画出其图像.

|x||y|1

例3. 已知A(1,0)，B(1,0)，

（1）若|PA|2，求P点的轨迹方程，并在坐标系中画出其图像；

|PB|22

xy

10516x10

，

(x)2y2

339

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（2）若|PA||PB|2，求P点的轨迹方程，并在坐标系中画出其图像.

x2y22

x211

0

|PA||PB|a2(x1)2y2(x1)2y2a2y24x2a4x21

练习3 (1).在ABC中, AB2,AC2BC,则ABC面积的最大值为 22

（2008江苏）

(x3)2y28

2(2).曲线C是平面内与两个定点F1(1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a（a1）的点的轨迹，给出下列三个结论：

①曲线C过坐标原点；

②曲线C关于坐标原点对称；

③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于其中，所有正确结论的序号是 ②③

（2011北京）

12a．

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三、课堂小结

1. 求轨迹方程的方法：直接法，定义法，代入法，参数法，交轨法

.

2. 利用方程研究曲线的性质

四、课后思考

试探究

（1）到两条直线yx和yx的距离乘积为定值1的动点轨迹是什么？

（2）到两条直线yx和yx的距离和为定值2的动点轨迹是什么？

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教学内容分析与课堂设计

本节课是高三的专题复习课，曲线与方程之轨迹探究。这是解析几何的两个基本问题之一. 解析几何的首要任务是：求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系. 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点. 解析几何的另一个任务就是利用求出的轨迹方程研究曲线的性质。

在本节课之前，学生已经复习了直线、圆，椭圆、双曲线、抛物线的相关性质，求轨迹方程的方法也已经进行了两个课时的专题复习，学生对轨迹方程的求法已经基本了解，这节课在此基础上，接着再探究一些稍微复杂的轨迹方程，并研究其图像。例1是一个简单题，但解法很多，考察学生思维的灵活性以及严谨性。既是对前面几节课的复习，又抛砖引玉。例2的设计可能会难住一部分学生，曲线方程好求，但要分析出图像有点难度，练习2同样是陌生的轨迹，需要学生有很强的数学素养，练习2的研究方法同时也是为例3（2）做铺垫。例3（2）是本节课的制高点，有了前面的铺垫，和学生一起的探究过程就会显得自然，也容易让学生接受，用几何画板演示一般情况，让学生震撼于曲线之美，最终引出数学史，给学生以文化的熏陶，激发学生的学习兴趣，所配的练习3，回归高考，我们所做的一切终究是为了高考。课后思考题也是精心设计，难度并不大，可以培养学生的探究精神。最后以一段关于“卡西尼号”的视频结束本节课，震撼于人类对宇宙未知的坚持不懈探测，也深化了这节课的主题-----对未知曲线的轨迹探究。

学生分析

因为是天门中学高三优录班的学生，所以这节课才能这样备课，学情分析永远是我们备课的第一要素，在本节课之前，学生已经复习了直线、圆，椭圆、双曲线、抛物线的相关

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性质，求轨迹方程的方法也已经进行了两个课时的专题复习，学生对轨迹方程的求法已经基本了解，都为这节课能够顺利进行打下了坚实的基础

。

结

束

语

一次公开课的准备就是一次历炼，从年级决赛结束后得到通知要进行全校决赛，如何选题，备课就一直在我脑海萦绕，不能脱离正常上课的进度，又要讲出一些味道，最终选择了这个课题，下面的这些事情对我的备课起了至关重要的作用。

11月中旬，湖北省高中数学优质课展评在黄冈高中举行，虽然没能亲临现场，但网络的发达，还是让我领略了许多好课，襄阳四中、五中选手的课简单朴实却给人一种力量，华师一的课就是在表演，哗众取宠却也有足够的深度，宜昌一中的课也别有一番味道和高度，水果湖高中的一位女老师，课堂上的那种干练，目光中投射出的冷峻而又坚毅，让你相信，这就是数学。

最近，由于数学竞赛和名师工作室的事情频繁和教研室刘主任接触，每一次谈话都记忆犹新，胜读十年书。刘主任对一节课的思想性、高度、可操作性的把握，对知识因果关系的分析，对学生可接受性的考量，都是恰到好处，让人受益匪浅。

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高三的教学始终要围绕高考这条主线，研究高考，研究真题，有些地方卷的特色被全国卷吸收，比如2016全国卷压轴题天津已考过两次，湖北卷对数学文化的考察，全国卷这几年都有出现，这也是这节课这样备课的一个原因。研究高考，除了要研究全国卷这几年的变化与不变，全国卷与地方卷的关系也不能忽略。

学习无时无刻不在，教研永远在路上。肯虚心，能领悟，善钻研是教师成长的关键要素。

对于学生而言，学习的落脚点终究不在做不完的习题、一张又一张的考卷、纠缠不清的分数里，而是获取知识本身！正如一位先哲说过：“我们所学习的知识将我们引向何处？我不知道，但那，的确就是未来！”

感谢高三数学备课组全体同仁的鼎力支持，特别是孙组长、蒋老师和艾芷弘老师，在备课过程中的积极探讨，提出了很好的建设性的意见。

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