3.1.2 导数的概念教学设计及课堂实录

导数的概念

一、教材分析

本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学选修1-1》（人教版）第三章第一节《变化率与导数》第二课时，是学生学***均变化率与瞬时变化率的基础上形成导数概念.导数是微积分的核心概念之一，也是本章的一个核心概念，它为即将学习导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识奠定了基础，更是研究函数的单调性、极值、最值和解决生活实际问题等有力工具. 二、学生分析

1．已有基础：基于学生已经学***均变化率与瞬时变化率，再通过实例顾上一节平均变化率与瞬时变化率的关系，由此抽象出函数在某点的瞬时变化率就是瞬时变化率就是导数，这是符合学生认知规律的．

2．困难之处：教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的，这对学生理解导数概念中的极限符号有一定的障碍.

三、教学目标

（一）知识与技能

1.理解导数的概念、知道瞬时变化率就是导数；

2.能解释具体函数在一点的导数的实际意义；

（二）过程与方法

1. 通过实例回顾上一节平均变化率与瞬时变化率的关系，对瞬时变化率从数量方面进行抽象，得到导数概念；

2.通过问题探究的形式复习，再次理解由具体到抽象、由特殊到一般的数学研究方法，体会“无限逼近”的极限思想；

3.通过问题的探究，培养学生的探究意识和探究方法；

（三）情感态度与价值观

1.通过导数概念的学习，体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的方法；

2.通过了解导数产生的历史及它在实际生活、生产和科研中的广泛应用及巨大作用，认识学习导数的必要性，从而激发学生学习导数的兴趣；

三、教学重点与难点

重点：导数概念的形成过程及理解导数在实际问题中的意义. 难点：对导数概念的理解. 四、设计思想

教学设计充分尊重学生认知事物的基本规律，通过实例重现平均变化率到瞬时变化率的过程，在此基础上构建导数的概念，并在具体的问题情境中，让学生解释求得导数值的实际意义，进一步体会导数的本质，即生活实际 数学 生活实际. 五、教学过程

教学环节

教学内容

一、平均变化率

对于一般的函数f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设∆

=

1−

0, ∆

=

(

1)−

(

0),则函数的平均变化率为：

师生活动

学生回忆上一节课学***均变化率并回答问题一，教师由此引出问题二，平均变设计意图

通过复***均变化率与瞬时变化率及其之间的关系，引出本课题探复习

引入

1

问题引入

yf(x1)f(x0)fx0＋x－fx0

＝xx1x0x

二、平均变化率与瞬时变化率的关系

用平均变化率“逼近”瞬时变化率

前面同学们学习了变化的快慢与变化率，下面来看一个实例：

在10米台跳水运动中，邱波相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：

h(t)4.9t24.9t10

计算邱波在0t1这段时间里的平均速度. 问题1.邱波在这段时间里的运动状态是静止的吗？

2.能否用平均速度去描述邱波的运动状态？

引导学生思考此时如何去描述邱波的运动状态，并提问。

3.由我们如何得到邱波在某一时刻的瞬时速度？如:

t=2s的瞬时速度？

课件演示：（重温上节课无限逼近的思想）

化率与瞬时变化率之间的联系.

学生回答：不是

学生回答：不能

由此得出平均速度在许多情形下不能表示物体某一时刻的运动状态。

回答：用瞬时速度

讨的核心思想----“无限逼近”.

通过引入平均速度让学生认识到在很多情形下平均速度不能表示物体的运动状态，故有必要引入瞬时速度与瞬时变化率

概念

形成

经过计算、讨论，学生会发现邱波在这段时间内的平均速度为0，但我Δt

Δt

v

v

们都知道在这-0.1

0.1

段时间内，他一直在运动着，也-0.01

0.01

就是说不可能-0.001

0.001

是静止的，到底-0.0001

0.0001

为什么会出这-0.00001

0.00001

种情况呢？

……….

….

…….

…

在此基础

上提出问题3：4.当t趋近于0时，平均速度有怎样的变化趋势？

组织学生讨论、相互交流引导5.这个常数是精确值还是近似值？

他们结合物理

6.同学们已经知道t=2s时的瞬时速度的表示方法，知识理解，引导那么邱波在某个时刻t0的瞬时速度如何表示呢？

提出:当时间间隔很小时，平均7.如果将这两个变化率问题中的函数用f(x)来表速度就会逼近瞬时速度，计算t=2s附近的平示，那么函数f(x)在xx0处的瞬时变化率如何均速度，细致观察它附近发生2 通过（2）的设置自然的由平均变化率过渡的瞬时变化率：数值与现实矛盾的产生，使学生意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确刻画物体的运动状态，有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度.这样有利于激发学生求知的欲望.

呢？limf(x0x)f(x0)

x0x的情况.

然后教师引导学生抽象概括出邱波在某个时刻t0的瞬时速度的表示.

引导学生1、瞬时变化率的定义：

设函数y=f(x)，在自变量x从x0变到x1时，从更一般的角函数值从

(

0)变到

(

1)，函数y关于

的平均变化度研究函数瞬时变化率，对瞬率为：

时变化率从数量方面进行抽yf(x1)f(x0)fx0＋x－fx0

＝象，得到导数的xx1x0x概念. 从导数形当

趋近于

时，即∆

趋近于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f(x)成过程的基础上学生总结出在

点的瞬时变化率. 求导的步骤.

2、导数的概念：

在数学上，称瞬时变化率为函数yf(x)在点x0的导数，通常用符号f(x0)表示，记作

f(x0)limf(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)limx1x0xx0

抽象

概括

通过图片展课件示，更加清晰地了解由具体到抽象、由特殊到一般、由静态到动态的数学研究方法，体会“无限逼近”的极限思想.

x1x0即：f(x0)limy.

x0x回顾前面的探讨过程，展示图片：

t0

平均速度

瞬时速度

h(t)的平均变化率

（极限）

x0

函数的瞬时变化率

函数的平均变化率

4、导数在实际问题中的意义：

例题1师生共同完成，例3例1：一条水管中流过的水量y（单位：m）是时间题2、3由学生完成，不完善的x（单位：s）的函数yf(x)3x.求函数yf(x)地方师生共同完善. 3

理解

应用

通过三个例题，使学生了解导数在实际生活中的广泛应用，并进一步理解导数的概念.

在x=2处的导数f(2)，并解释它的实际意义. 解：当x从2变到2＋Δx时，函数值从3×2变到3（2＋Δx），函数值y关于x的平均变化率为

f(2x)f(2)3(2x)32xx

3x3(m/s)x当x趋于2，即Δx趋于0时，，平均变化率趋于3，所以

f(2)3（m3/s）. 导数f(2)表示当x=2s时水流的瞬时变化率，即水流的瞬时速度.也就是如果水管的中的水以x=2s时的瞬时速度流动的话，每经过1s，水管中流过的水量为3m. 例2：一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y（单位：kg）是其工作时间x（单位：h）的函数yf(x).假设函数yf(x)在x=1和x=3处的导数分别为f(1)4和f(3)3.5，试解释它们的实际意义. 解：f(1)4表示该工人工作1h的时候，其生产速度（即工作效率）为4kg/h，也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的食品. 3f(3)3.5表示该工人上班后工作3h的时候，，其生产速度为3.5kg/h，也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h的食品. 例3：服药后，人体血液中药物的质量浓度y（单位：μg/mL）是时间t（单位：min）的函数yf(t)，假设函数yf(t)在t=10和t=100处的导数分别为f(10)1.5和f(100)0.6，试解释它们的实际意义. 解：f(10)1.5表示服药后10min时，血液中药物4

的质量浓度上升的速度为1.5μg/（ml·min）.也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液中药物的质量浓度将上升1.5μg/（ml·min）. f(100)0.6表示服药后100min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为－0.6μg/（ml·min）.也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液中药物的质量浓度将下降－0.6μg/（ml·min）. 回顾本节使学生总结反思：

可不仅能从知让学生小结并交流，教师在学生的基础上进行完善.

课所学内容，以彼此之间交识的角度看

流自己的小结.

所学过的内容，还能体会到寓于知识中的数学思想与方法．

课本习题3-1中A组2、3

满足不

课堂

小结

布置

作业

同学生的需求；通过学生完成作业情况，做到及时反馈. 六、 教学反思

一个概念的形成是螺旋式上升的，对新概念的抽象不仅是对结果的抽象，更是对方法和过程的抽象.本课设计上，把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，返璞归真，从两个反应概念现实原型的具体问题出发，引出函数在一点处的导数再到开区间内的导函数，引导学生经历了一个完整的数学概念发生、发展的探究过程.提出问题、观察归纳、概括抽象，拓展概念让学生充分经历了具体到抽象，特殊到一般，感性到理性，直观到严谨的知识再发现过程，教师作为学生学习的组织者、引导者、合作者创设机会和空间，激活学生思维的最近发展区，倡导学生积极参与，自主探究，发现知识，培养能力.把可导与连续的关系，设计成弹性化的选作题，既不影响主体知识建构,

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