1.1.1 命题优秀完整教案

1.1.1

命题

[学习目标]

1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式.

知识点一

命题的定义

(1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句叫做真命题. (3)判断为假的语句叫做假命题. [思考]

(1)“x>5”是命题吗？

(2)陈述句一定是命题吗？

答案

(1)“x>5”不是命题，因为它不能判断真假. (2)陈述句不一定是命题，因为不知真假，只有可以判断真假的陈述句才叫做命题. 知识点二

命题的结构

从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成.在数学中，命题常写成“若p，则q”的形式.通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.

题型一

命题的判断

例1

(1)下列语句为命题的是(

) A.x－1＝0

B.2＋3＝8 C.你会说英语吗？

D.这是一棵大树

(2)下列语句为命题的有________. ①一个数不是正数就是负数；

②梯形是不是平面图形呢？

③22 015是一个很大的数；

④4是集合{2,3,4}的元素；

⑤作△ABC≌△A′B′C′. 答案

(1)B

(2)①④

解析

(1)A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假. (2)①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句.

反思与感悟

并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假. 跟踪训练1

判断下列语句是不是命题. (1)求证3是无理数；

(2)x2＋2x＋1≥0；

(3)你是高二学生吗？

(4)并非所有的人都喜欢苹果；

(5)一个正整数不是质数就是合数；

(6)若x∈R，则x2＋4x＋7＞0；

(7)x＋3>0. 解

(1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题. 题型二

命题真假的判断

例2

判断下列命题的真假：

(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；

(2)若x∈N，则x3>x2成立；

(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；

(4)存在一个三角形没有外接圆. 解

(1)假命题.反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2. (2)假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立. (3)真命题.∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，

∴方程x2－2x＋m＝0无实数根. (4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆. 反思与感悟

要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 跟踪训练2

下列命题：

①若xy＝1，则x、y互为倒数；

②四条边相等的四边形是正方形；

③平行四边形是梯形；

④若ac2>bc2，则a>b. 其中真命题的序号是________.

答案

①④

解析

①④是真命题，②四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形. 题型三

命题的构成形式

例3

(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若p则q”的形式，则p是______________________，q是_________________________________. 答案

一条直线是弦的垂直平分线

这条直线经过圆心且平分弦所对的弧

(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假. ①已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；

②当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0. 解

①已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题. ②若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题. 反思与感悟

把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式也不惟一. 跟踪训练3

指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假. (1)若四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分；

(2)若a>0，b>0，则a＋b>0；

(3)面积相等的三角形是全等三角形. 解

(1)条件p：四边形是平行四边形，结论q：四边形的对角线互相平分.真命题. (2)条件p：a>0，b>0，结论q：a＋b>0.真命题. (3)条件p：两个三角形面积相等，结论q：它们是全等三角形.假命题.

1.下列语句不是命题的个数为(

) ①2<1；②x<1；③若x<1，则x<2；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数. A.0

C.2

答案

B 解析

①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题. 2.下列命题为真命题的是(

) A.互余的两个角不相等

B.相等的两个角是同位角

C.若a2＝b2，则|a|＝|b| B.1 D.3

D.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角

答案

C 解析

由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的. 3.下列命题是真命题的是(

) A.若a2＝4，则a＝2

B.若a＝b，则a＝b

11C.若＝，则a＝b

ab答案

C 解析

判断是假命题，只需举反例，用排除法，得到正确选项. 由a2＝4得a＝±2，排除A；

取a＝b＝－1，排除B；

－2<1，但(－2)2>12，排除D.故选C. 4.给出下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是(

) A.①②

B.②③

C.③④

D.②④

答案

D 解析

当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①错；由平面与平面垂直的判定定理可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交也可以异面，故③错；若两个平面垂直，在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确.

1.根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题.命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可. 2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中.

D.若a