2.1.4 平面与平面之间的位置关系教案及板书设计

2.1．1 平 面（教学设计）

一、内容及其解析

内容：1.平面的概念、画法和表示

2．平面的基本性质

解析：本部分内容是必修2第二章第一节的第一课时，平面是构成空间几何的基本元素，在教材中充分利用实例展示给学生平面的形象，并从中抽象出平面的概念，此节还涉及到了平面基本性质的三个公理是后面推到其他定理和现在的基础. 二、目标及其解析

1．知识与技能

（1）利用生活中的实物对平面进行描述；

（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；

（3）掌握平面的基本性质及作用；

（4）培养学生的空间想象能力.

2．过程与方法

（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；

（2）让学生归纳整理本节所学知识. 3．情感、态度与价值观

使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣. 解析：探索、理解并掌握平面基本性质的三条公理，培养学生几何直观图和空间想象能力，会把文字语言转化为图形语言和符号语言，发展学生的数学语言交流能力.从中培养学生学习数学的兴趣和数学应用意识，让学生发现知识就在身边. （三）教学重点及教学问题诊断分析

1、平面的概念及表示；

2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言. 教学问题诊断分析：在概念的理解上，教师帮助学生从直观物体中抽象出平面的概念，主要认清三个问题：无面积、无厚度、无质量；在平面的性质中，对于公理2，要强调不在同一条直线上的三个点. （四）教学难点

平面基本性质的掌握与运用. （五）教学支持条件分析

在第一章中，学生已经对空间几何体有了整体的认识，再结合生活实践，学生已经对点、线、面之间的位置关系有了直观的认识，本章就是要把学生的这些直观认识理论化，转化为我们的数学定理. （六）教学过程设计

教

教学内容

1 师生互动

设计意图

学过程

（一）创设情境导入

师：生活中常见的引导学生观思考1:生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑如平静的湖面、教察、思考、新课导入

板面、湖面都给我们以平面的形象．你还能从生活中室里的桌面和黑举例和相互举出类似平面形的物体吗？

板面，都给我们以交流，教师几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些平面的形象，你们对学生活动物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展能举出更多的例给予评价，的．

(二)平面的概念

子吗？ 学生举例

点出主题.培养学生感性认识

师：刚才大家所讲

思考2:将一条线段向两端无限伸展得到的图形是什的一些物体都给

么？将课桌面、平静的水面向四周无限伸展得到的图我们以平面的形

形是什么？ 和厚薄之别？

随堂练习

判定下列命题是否正确：

知识探①书桌面是平面；

③有一个平面的长是50m，宽是20m；

象，几何里所说的

的一些物体中抽平面概念的象出来的，但是，理解.

几何里的平面是的，现在请大家思2和思考3），我们给出平面的特征.判定下列命题是否正确？

生：平面是没有厚度，无限延展的；所以①②③错误；④正确. 探索新知

(三)平面的画法

师：在平面几何类比建构加面概念的理通常我们把水平的平面画成平行四边形，用平行四边中，怎样画直线？深学生对平形表示平面，其中平行四边形的锐角通常画成45°，(学生画直线) 平面遮挡住. 我们常把被遮挡的部分用虚线画出来.

2 思考3:直线是否有长短、粗细之分？平面是否有大小平面就是从这样加深学生对②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；

向四周无限伸展究

④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽考两个问题（思考

象的数学概念.

且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个师：这位同学画的解，培养学实质上是直线的生知识迁移

部分，通过想象两能力，空间D A

(四)平面的表示

C B 端无限延展而认想象能力和为是一条直线，仿发散思想能照直线的画法，我力.

们可以怎样画一

个平面？

生：画出平面的一

部分，加以想象，

四周无限延展，来

表示平面.

D E F B C 师：大家画一下.

学生动手画平面，

将有代表性的画

在黑板上，教师给

予点评，并指出一

般画法及注意事

项(作图)

A 常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用

的大写英文字母作为这个平面的名称．

代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点师：为了表示平

面，我们通常把希

腊字母α、β、γ培养学生的D C B 等写在代表平面识图能力，的平行四边形的为后面学习一个角上，如平面平面基本性α、平面β等；也质做铺垫

可以用代表平面

的四边形的四个

顶点，或者相对的

两个顶点的大写

英文字母作为这

个平面的名称．

生:说出课件给出

的平面

A 记作: 平面

平面ABCD

平面AC或平面BD

3

D F C 师：平面内有无数

个点，平面可以看

成点的集合．点在

平面内和点在平

面外都可以用元

素与集合的属于、

不属于关系来表

A 记作:平面E ；

平面

B

示．如图所示

(五)点与平面的位置关系

平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于关系来表示．

D B A B 内 记作：C A 点点

A在平面A

B在平面外 记作：B

师：我们下面学习通过实验，三个公理.所谓公察、归纳能理，就是不必证明力.加深学而直接被承认的生对公理的真命题，它们是进理解与记一步推理的出发忆. 点和根据. 先研加强学生对究下列问题：实际知识的理生活中，把一把直解，培养学尺边缘上的任意生语言（符(五)平面的基本性质

条直线在此平面内

（1）图形语言

AlBl（2）符号表为：l（3）

AB公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这平面基本性质的培养学生观作用：判断直线是否在平面内.

4

两点放到桌面上，号图形）的可以看到直尺的表达能力. A l 整个边缘就落在

了桌面上。这个经

验告诉了我们什

么？

点A在直线l上，Al

点A在直线l外，A

l

生：当直线上两点

在一个平面内时，

这条直线落在平

面内.

师：这个结论就是

我们要讨论的公

理1（板书）

下面请同学们用

符号表示公理1.

大家回忆一下几

点可以确定一条

直线？

条直线.

生：两点可确定一

A l l 直线l在平面A 外，记作：l

l 师：那么几点可以

确定一个平面

呢？

通过实验，学生思考，讨论然

后回答. 生1：三点可确定

一个平面

师：不需要附加条培养学生观件吗？如三脚架察、归纳能可以牢固的支撑力.加深学照相机

不共线

生对公理的忆.加强学记作：lA B 直线l在平面内，平面经过直线l．



公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面. 生2：还需要三点理解与记

（1）图形语言

5 师：这个结论就是生对知识的我们要讨论的公理解，培养理2. 学生语言

（2）符号语言：共线A,B,C三点不有一个平面师:投影公理2图（符号图示与符号表示，分形）的表达析注意事项.

能力.

有且只，使A,B,C

注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，

是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只师：下面请同学们通过直观的有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三观察长方体，你能长方体来公个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三发现长方体的两共直线，为点确定一个平面. “有且只有一个平面”也可以说成个相交平面有没培养学生观“确定一个平面.”

（2）过A、B、C三点的平面可记作“平面ABC”

们有且只有一条过该点的公共直线. 有公共直线吗？察、归纳能（长方体投影展力.加深学示）举例说明

生对公理的公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它生：这条公共直线理解与加强B'C'叫做这两个学生对知识平面A/B'C'D'和的理解，培面BB'CC'的交养学生语言（1）图像语言

线．

l（符号图（2）符号表示为：PPl

（3）作用：判断两个平面是否相交；

判定点在直线上；

确定两个相交平面的交线.

师：我们把这条直形）的表达线称为这两个平能力. 面的公共直线.事

实上，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（板书）这就是我们要学的公理3. 典例分析

例1 如图，用符号表示下图图形中点、直线、平面之教师引导学生分间的位置关系. 析,解题

巩固所学知识

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分析：根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来. 解：在（1）中，l，aA，aB. alP，blP. l，b，在（2）中，a，1．下列命题正确的是（ ）

A．经过三点确定一个平面

B．经过一条直线和一个点确定一个平面

C．四边形确定一个平面

D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

2．（1）不共面的四点可以确定几个平面？

（2）共点的三条直线可以确定几个平面？

错误的画“×”. （ ）

个平面.( ) （ ）

个平面重合. （ ）

4．用符号表示下列语句，并画出相应的图形：

（1）点A在平面内，但点B在平面外；

（2）直线a经过平面外的一点M；

（3）直线a既在平面内，又在平面内.

归1．平面的概念，画法及表示方法. 纳2．平面的性质及其作用

总3．符号表示

结

4．注意事项

学、补充完善

学生独立完成

答案：

1．D 2．（1）不共面的识

平面. 直线可确定一个3．（1）×（2）√4．（1）A，B （2）M，M. （3）a，a.

巩固所学知3．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，四点可确定4个随堂练习

（1）平面与平面相交，它们只有有限个公共点. （2）共点的三条（2）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一或3个平面. （3）经过两条相交直线，有且只有一个平面. （3）√（4）√

（4）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两. 回顾、反思、提升自我整合知识的能力，培养思维严谨性固化知识，提升能力. 学生归纳、总结教归纳知识，课

后学生独自完成

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作业

配餐作业

A组：

1. 已知下列四个命题

（1）铺得很平的一张白纸是一个平面; (2) 一个平面的面积可以等于6cm2; (3) 平面是矩形或平行四边形的形状; (4) 两个平面叠在一起比一个平面厚.其中正确的有( )个。

A 0 B 1 C 2 D 3 2．若点M在直线a上，a在平面内。则M、a、间的上述关系可记为( ) A

Ma,a B

Ma,a C Ma,a D Ma,a

3. 根据要求画出图形

①

直线a在平面内 ②

直线a在平面上方

③直线a穿过平面 ④

l,a,aP,b,bP

B组

4.经过一条直线和直线 的一点，有且只有 个平面. 5.经过两条 直线，有且只有 个平面. 6.经过两条 直线，有且只有 个平面. C组

7.已知直线a和直线b相交于点A。求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.

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