信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：圆10分钟试讲教案

《点的轨迹的探索》教案

龙文德

------------- 问题是数学的心脏，思维从问题开始

一、一题多解

拓宽思路

问题之一：

设圆

C：（x-1）2+ y2 =1，过原点O作圆的任意弦的中点的轨迹方程。

yQP(x,y)oC(1,0)x

解法一：（直译法）

设OQ为过O的一条弦，P（x，

y）为其中点，则CP ⊥OQ，设OC中点为M（则|MP| =1，0），

21111|OC|=.得方程(x-)2 +y2 =,考虑轨迹的范围知

0< x1。

2224

解法二：（定义法）

∵∠OPC=900，∴动点P在以M(|OC|=1，再利用圆的方程得解。

yQP(x,y)ox1, 0)为圆心，OC为直径的圆上，

2解法三：（中间变量法）

设Q（x1，

y1）则

222x1(2y)

1xx1x1122xx21　22yyy11y1y121222x11y1111121　　(0x1)

解法四：（参数法）

1、设动弦PQ的方程为y=kx ，代入圆的方程得:（x－1）2

+ (kx)2 = 1 即

（1+k2）x2 -2x=0

xx21

x11121k2消去k(x)2y2.( 0< x 1)

k24

ykx1k2



2、若设Q(1+Cosθ，Sinθ)，P（x，

y）的坐标满足：

1CosSin11CosSin消去12212消去x,y((xx))yy2..( 0< x 1) 222244yQP(x,y)oMC(1,0)x

小结一：

一题多解能拓宽解题思路,更有利于培养同学们的分析问题和解决问题的能力! 1、直译法：将题目中动点轨迹满足的几何条件方程化

2、定义法：如果能够确定动点轨迹满足某曲线的定义，则可由曲线定义直接写出轨迹方程。

3、中间变量法：若动点P（x,y）依赖于另一动点Q（x0,y0），而Q又在某已知曲线上，则可先写出关于x0 , y0的方程.再将x0, y0

用x ,y来表示代入上述方程。

4、参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x, y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数。

5、待定系数法：若已知曲线的形状（如圆、椭圆），可用待定系法。

二、一题多变

发散思维

问题之二

C是定圆A内的一个定点，D是圆上的动点，求线段CD的中点E的轨迹。

DEAC

解(定义法)：

以AC所在直线为x轴，线段AC的中点为原点O，建立平面直角坐标系。

设|AC|=2c,|AD|=2a=R（已知圆的半径）.O是AC的中点，E是CD的中点，

由于|OE|=1|AD|=a（定值）点E的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆。其方程为x2+y2=a2

2D

Ey

CA

O

X

变式1：C是定圆A内的一个定点，D是圆上的动点，求线段CD的垂直平分线与半径AD的交点F的轨迹方程。

D

y

EA

O

F

C

X

[分析]

注意到EF是线段CD的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质，点F到点D的

距离与F到点C的距离相等|FC|=|FD|。这样|FA|+|FC|=|FA|+|FD|=R，

其中R是定圆的半径（为定值），由于点C是圆内的一点，所以|AC|〈|AD|=R，根据椭圆的定义，

点F的轨迹是以A、C为焦点，R为长轴长的椭圆。

D

y

A

O

FE

C

X

解（定义法）：

以AC所在直线为X轴，线段AC的中点为原点O，建立平面直角坐标系。设|AC|=2c，|AD|=2a=R（已知圆的半径），根据椭圆的定义,其方程为：

2xy22221（其中b=a-c，0

a2b2D

y

EA

O

F

C

X

[点评] 刚才我们之所以能够探求出点F的轨迹是一个椭圆。是因为由题设条件得到点F所满足的几何条件符合椭圆的定义。在探求点的轨迹时，要注意设法找出动点所满足的几何条件。

变式2：C是定圆A外的一个定点，D是圆上的动点，求线段CD的垂直平分线与半径AD所在直线的交点F的轨迹方程。

A

O

D

ECFX

小结二：

通过一系列问题的研究，我们知道，探求一个点的轨迹，思维出发点主要有两个：

一是找出约束动点变动的几何条件；

二是找出影响动点变动的因素。

抓住这两条，就抓住了问题的实质。

三、学生编题

启发创新

我们不仅要学会解决问题，积累解决问题的经验，总结解决问题的方法，并运用这些经验解决新的问题，更重要的是勇于提出问题，善于提出问题。你们想看看别的轨迹吗？请你们“根据问题之二”编题，猜想其轨迹。

D

E

CA

D

y

EFA

O

C

X

y

A

O

D

X

ECF

附：可能的问题

1、C是定圆A内的一个定点，D是圆上的动点。点E在线段CD上且满足:

.

求点E的轨迹方程。

D

E

CA

2、C是定圆A内的一个定点，D是圆上的动点，线段CD的垂直平分线与半径AD的交点为F，

M是直线CF上任意取的定点。求M的轨迹方程。

D

Y FA

EO MCX

总结

通过“一题多解,一题多变”,拓宽思路,发散思维,扩大到发现,归纳这类问题解题规律,真正做到举一反三，迁移知识与方法。深入研究问题，努力提高科学素养。