习题2.2教学设计和教学实录

直线、平面平行的判定与性质（解题学习课）

【学习目标】

1．灵活应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理；

2．掌握线线平行、线面平行、面面平行之间相互转化的基本思想方法。

【学习重点】

灵活应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理。

【学习过程】

一、学习准备

1．从文字语言、图形语言和符号语言等方面列表整理直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理和性质定理。

2．线线平行、线面平行、面面平行之间相互转化的关系图为：

线线平行

判定定理

线面平行

性质定理

定理性质面面平行

请整理三者之间相互转化的策略或经验。

二、典例解析

例1 如图，在正方体中，E,F,G,H分别为BC，

CC,CD,AA的中点.求证：

⑴BF∥HD；

⑵EG∥平面BBDD；

思路启迪：（1）如果看出BF与HD分别所在的平面，

便可利用“面面平行”来证明；

（2）EG最有可能与平面BBDD内的哪条直线平行

（包括那些没有联结起来的直线）？

证明：（1）设BB/的中点为M，连接D/H,HM,C/M,BF,则HM//C/D/且HM＝C/D/

所以HM C/D/是平行四边形，从而HD//GC/

解题反思：1.第（1）小题既可用平面几何方法进行证明，也可用立体几何的方法证明，

判定

定理

理定质

性理定定判

请比较两种方法的优劣。

2.线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化是基本的解题思想方法，请归纳出本题中所运用的转化策略或经验。

变式练习1 在例1的条件下，证明：平面BDF∥平面BDH.

例2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? 思路启迪：探究面面平行，可联想面面平行的判定，通过线线平行达到解决问题的目的。

解析

当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. ∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA，

又O为DB的中点，∴D1B∥PO. 又PO∩PA＝P，BQ∩D1B＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO. 解题反思：判断“面面平行”的常用办法，就是通过线线平行来解决。

变式练习

变式练习2：如图，在正方形ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是棱B1C1，BB1，C1D1的中点，是否存在过点E，M且与平面A1FC平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由. 答案：如图，设N是棱C1C上的一点，且C1N＝平面EMN过点E，M且与平面A1FC平行．

证明如下：设H为棱C1C的中点，连接B1H，D1H．

∵C1N＝1C1C时，

411C1C，∴C1N＝C1H．又E为B1C1的中点，∴EN∥B1H．

42又CF∥B1H，∴EN∥CF．又EN⊄平面A1FC，CF⊂平面A1FC

∴EN∥平面A1FC．

同理MN∥D1H，D1H∥A1F，∴MN∥A1F．

又MN⊄平面A1FC，A1F⊂平面A1FC，∴MN∥平面A1FC．

又EN∩MN＝N，∴平面EMN∥平面A1FC．

例3.已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与

平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F，如图所示，

ABDE求证：＝. BCEF

思路启迪：联想面面平行的性质，容易推出线线平行，再结合平行线分线段成比例定理即可求解。

证明：如图，连接DC，设DC与平面β相交于点G，

则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG，

平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE，CF. 因为α∥β，β∥γ，所以BG∥AD，GE∥CF. ABDGDGDEABDE于是，得＝，＝，所以＝. BCGCGCEFBCEF变式练习3 如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝______.

3答案

2【学习反思】

本节课中的例题及练习题分别代表了哪种类型的习题？它有何解题规律？解题中用到了什么数学思想方法？这些方面对今后的学习具有很好的借鉴价值，特别是“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”之间相互转化的基本策略或经验。

【学习评价】

自主测评一：

★★1. 下列条件能推出平面∥平面的是（

）.

A.存在一条直线a，a∥，a∥

B.存在一条直线a，a，a∥

C.存在两条平行直线a,b，a,b，a∥，b∥

D. 存在两条异面直线a,b，a,b，a∥，b∥

A.0

B.1

C.2

D.3

★2. AB和CD是夹在平行平面,间的两条异面线段，E,F分别是它们的中点，则EF和（

）.

A.平行

B.相交

C.垂直

D.不能确定

★★3. a,b,试在横线上写出条件，使得a∥b. 。

★★4.如图，在四棱锥OABCD中，

底面ABCD是菱形，M为OA的中点，

N为BC的中点，

ABNCOMD证明：直线MN‖平面OCD。

★★5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、

D1D、CD的中点，N是BC的中点，点

M在四边形EFGH及其内部运动，则M满

足__

_时，有MN∥平面B1BDD1. 思路启迪：欲探究点M满足的条件使得MN∥平面B1BDD1，可过点N作一平面与平面B1BDD1平行，所作平面与平面EFGH的交线上的点即为所求。

解析：点M在FH上_ ∵FH∥BB1，HN∥BD，FH∩HN＝H，∴平面FHN∥平面B1BDD1

又平面FHN∩平面EFGH＝FH，∴当M∈FH时，MN⊂平面FHN

∴MN∥平面B1BDD1．

【学习评价】备用

★★1. 设a,b为两条直线，,为两个平面，下列三个结论正确的有（

）个. ①若a,b与所成的角相等，则a∥b

②若a∥，b∥，∥，则a∥b

③若a,b，a∥b，则∥

★2. 在由正方体棱的中点组成的直线中，和正方体的一个对角面平行的直线有_______条. ★★3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段FE的长度为________．

答案

★★3.如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的长．

2

解：设AB，CD都在平面γ上，

因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD，

SCSASC8所以＝，即＝，所以SC＝272.

SC＋CDSBSC＋349

★★4. 如图5，在正三棱柱中，E是的AC中点，求证：AB∥面BEC.

图5

【学习链接】

在立体几何中，证明图形的存在性或唯一性时，常常运用反证法和同一法。

反证法：先提出和原命题中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果，这样就否定了原来的假定而肯定原命题.

同一法：欲证图形有某种特性时，可另作一个具有同样特征的图形，再证明所作图形和已知条件中的图形是同一个.如果不是同一个，则与某公理或定理相矛盾