复习参考题优秀教学设计内容

多面体的外接球与内切球

[学习目标]

1、通过剖析高考题，掌握几何体的外接球和内切球问题，降低对此类题的畏难情绪。

2、通过变式演练和归纳总结，体验解决多面体“接”、“切”问题的思维过程，感悟不同方法的要领。

[学习重难点] 多面体外接和内切问题的解题方法

[考情分析] 球与多面体的关系是高考考查的重点，但同学们又因为缺乏较强的空间想象能力，较难找到解题的切入点和突破口。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置是关键。

[学习过程]

活动一

心动入境

复习旧知

一、多面体的外接球（球包体）（定心大法：球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上．）

模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱）

球半径公式：球包

直柱

球包正方体

球包棱直锥

锥

hRr2，

2

球包长方体

球包四棱柱

球包三棱柱

（r为底面外接圆半径）

2

模型2：“顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线）

实例：正棱锥

22球半径计算方程：hRrR2h2r2h2hRr0R2h22，

（h为棱锥的高，r为底面外接圆半径）。特别地，

（1）棱长为a正四面体的外接球半径：R_______

（2）底面边长为a，高为h的正三棱锥的外接球半径：R__________．

（3）底面边长为a，高为h的正四棱锥的外接球半径：R__________．

二、正多面体的内切球（体中球）

锥体的内切球：

边长为a的正方体：

边长a的正八面体：

R____________．

R=

R=

正四面体的内切球半径为

活动二

灵动探究

剖析思路

类型一：多面体外接球与内切球的表面积与体积

例题（2018年全国卷二15题）长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为

.

变式

：

1、已知三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且AB5,BC7,AC2,则此三棱锥外接球的表面积是

。

2、已知三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积是(

) A．2π

B．4π

C．8π

D．10π

3、若四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为(

) 81π81π101π101πA.

B.

C.

D.

520520

例2（1）在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为4的球与棱柱的所有面都相切，且ABC为3正三角形，那么这个三棱柱的表面积是

（2）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑（bie

nao）。已知在鳖臑M-ABC中，MA平面ABC，MAABBC2,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为

错题再练：

在平面四边形ABCD中，ABADCD1,BD2,BDCD,将其沿对角线BD折成每个面都是直角三角形的四面体ABCD，则该四面体内切球的半径为

，外接球半径为

。

类型二：多面体的内切球或外接球的最值问题

例题3：（1）（2018年全国卷3第12题）设为等边三角形且其面积为A.

（2）（2016年全国卷3第

11题

）在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC，

，则三棱锥B.

是同一个半径为4的球的球面上四点，体积的最大值为（ ）

C.

D.

AB6，BC8，AA13，则V的最大值是（

）

（A）4π

（B）

变式：

1.设A，B，C是同一个球的球面上三点，球心为O，AOB90,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）

A.36 B.64 C.144 D.256

2、三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=AC，侧棱AA且三棱柱的侧面积为33.若该三棱1底面ABC，柱的顶点都在同一个球面上，则球的表面积最小值为

.

9π32π

（C）6π

（D）

23

错题再练：

1、若侧面积为4的圆柱有一外接球O，当球O的体积取得最小值时，圆柱的表面积为

.

2、已知球O的半径为4，矩形ABCD的顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为2，则此矩形的最大面积为

活动三

互动评说

归纳总结

1、求多面体外接球半径方法：

2、求多面体内切球半径常见题型和方法：

3、多面体的内切球或外接球的最值问题解决办法：

阅读回顾

1、正多面体的“切边球”（与所有的棱都相切的球）

正四面体边长为a，球半径R

正四面体边长为a，球半径R

正方体边长为a，球半径R

2、解法复习并试试做图论证

（一）简单多面体外接球的球心的如下结论：

结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．

结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．

结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．

结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．

结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．

（二）构造正方体或长方体确定球心 长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．

1、正四面体可构造正方体．

2、三条侧棱两两垂直的三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥可构造长方体或正方体

3、相对的棱相等的三棱锥可构造长方体或正方体．

4、若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．