习题3.3板书设计及意图

习题3.3

直线中的距离

一、

教材分析

直线中的距离分为点到直线的距离和两条平行直线间的距离，它既是直线与方程的重要内容，也是研究直线与圆的位置关系的主要工具. 因此本节课将通过讲练结合、互动探究的教学形式使学生进一步掌握并应用点到直的距离公式，会求两条平行线间的距离.让学生学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维.根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合. 二、教学目标

1.知识与技能

熟练掌握点到直线的距离公式. 2.过程和方法

会用点到直线的距离公式和两平行线距离求解相应问题. 3.情感和价值

认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题. 三、教学重点与难点

教学重点:点到直线距离公式

1．已知某点

P 的坐标为(x0，y0)，直线

l 的方程是

Ax＋By |Ax0＋By0＋C|＋C＝0，则点P到直线l的距离为d＝. A2＋B2

2．点到几点特殊直线的距离：

(1)点

P(x0，y0)到直线

x＝a 的距离为

d＝|x0－a|；

(2)点

P(x0，y0)到直线

y＝b 的距离为

d＝|y0－b|. 教学难点:两条平行直线间的距离

1、已知直线

l1：Ax＋By＋C1＝0 和

l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，|C2－C1|则这两条平行直线间的距离公式是d＝2. A＋B2

四、课时安排

1课时

五、教学设计

（一）自主导学

1．点(0,5)到直线

y＝2x 的距离是（）

535A.2

B.5

C.2

D.2

2．在直线

y＝x 上到

A(1，－1)距离最短的点是（）

A.(0,0)

B．（1,1）

C.（-1,-1）

D.（0.5，-0.5）

3.点

P(2，m)到直线

5x－12y＋6＝0 的距离为

4，则

m 等于（）

4.两条平行线

5x－12y－2＝0,5x－12y－11＝0 之间的距离等于（）

（二）典例精讲

题型一：

点到直线的距离公式

例

1：求点

P(3，－2)到下列直线的距离：

31(1)y＝4x＋4；

(2)y＝6；

(3)x＝4. 31解：(1)把方程y＝4x＋4写成3x－4y＋1＝0. 由点到直线的距离公式得

|3×3－4×－2＋1|18d＝＝5. 32＋－42

(2)∵直线

y＝6 平行于

x 轴，

∴d＝|6－(－2)|＝8.

(3)∵直线

x＝4 平行于

y 轴，

∴d＝|4－3|＝1. 方法总结：求点到直线的距离，一般先把直线的方程写成一般式．对于与坐标轴平行的直线，其距离公式可直接写成

d＝|x0－a|或

d＝|y0－b|.

变式训练：

1-1.点

P(－1,2)到直线

8x－6y＋15＝0 的距离为（）

|8×－1－6×2＋15|1解析：d＝＝2. 228＋－6

题型二：求两条平行直线间的距离

例

2:

求与直线

l：5x－12y＋6＝0 平行且到

l 的距离为

2 的直线的方程．

解法一：设所求直线的方程为

5x－12y＋C＝0. 1在直线5x－12y＋6＝0上取一点P00，2，



点

P0 到直线

5x－12y＋C＝0 的距离为

d＝1－12×＋C25＋－1222＝|C－6|13＝2. ∴C＝32 或

C＝－20.

∴所求直线的方程为

5x－12y＋32＝0 和

5x－12y－20＝0.

解法二：设所求直线的方程为

5x－12y＋C＝0.

由两平行直线间的距离公式，得

2＝|C－6|，

52＋－122

解得

C＝32 或

C＝－20. 故所求直线的方程为

5x－12y＋32＝0 或

5x－12y－20＝0. 方法总结：

(1)

求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离，即把两平行线之间的距离，转化为点到直线的距离．

(2)直接套两平行线间

|C2－C1|的距离公式d＝2. A＋B2

变式训练：

2-1.已知两平行线

l1：3x＋4y－10＝0，l2：3x＋4y－15＝0，求直线

l1 与

l2 的距离．

解：∵l1∥l2，又C1＝－10，C2＝－15，

|－10－－15|∴d＝＝1.

32＋42

2－2.到直线x－y＋1＝0的距离等于4 2的动点P的轨迹

方程是（）

A．x－y＋9＝0 B．x－y－7＝0 C．x－y＋9＝0 或

x－y－7＝0 D．x＋y－7＝0 或

x－y＋9＝0

题型三：点到直线的距离公式的应用

例

3：过点

P(－1,2)引一直线，使它与点

A(2,3)，B(4,5)的距离相等，求该直线的方程．

思维突破：(1)利用代数方法求解，即点到直线的距离公式建立等式求斜率

k.

(2)利用几何性质解题，即

A、B 两点到直线的距离相等，有两种情况：①直线与

AB 平行；②直线过

AB 的中点．

解法一：设直线的方程为

y－2＝k(x＋1)，

即

kx－y＋k＋2＝0，

|2k－3＋k＋2||4k－5＋k＋2|由题意知＝，

k2＋1k2＋11即|3k－1|＝|5k－3|，∴k＝2或k＝1，

1∴直线的方程y－2＝2(x＋1)或y－2＝1×(x＋1)，

即

x－2y＋5＝0 或

x－y＋3＝0.

解法二：当直线与

AB 平行时，k＝kAB＝1，

∴直线的方程

y－2＝1×(x＋1)，即

x－y＋3＝0.

当直线过

AB 的中点时，∵AB 的中点为(3,4)，

4－21∴直线斜率k＝＝2，

3－－11∴直线的方程为y－2＝2(x＋1)．

方法总结：已知一点求直线的方程，通常会设点斜式方程，但要注意斜率不存在的情况．本题解法二利用数形结合的思想使运算量减少．

变式训练：

3－1.过点

P(－1,2)引一直线，使它与点

A(2,3)，B(－4,5)的距离相等，求该故所求直线的方程为x－2y＋5＝0或x－y＋3＝0.

直线的方程．

1解：当直线与AB平行时，k＝kAB＝－3，

1∴直线的方程y－2＝－3(x＋1)，即x＋3y－5＝0.

当直线过

AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4)，

∴直线的方程为

x＝－1. 故所求直线的方程为

x＋3y－5＝0 或

x＝－1.

题型四：分类讨论

例

4：两平行直线

l1 、l2 分别过

A(1,0)，B(0,5)，若

l1 与

l2的距离为

5，求这两条直线方程．

错因剖析：易忽略

l1、l2 是特殊直线的情况，导致漏解．

正解：设l1的方程为y＝k(x－1)，则点B到l1的距离为5＝5，所以k＝0或k＝12. |5＋k|k2＋1

l1 的方程为

y＝0 或

5x－12y－5＝0，

l2 的方程为

y＝5 或

5x－12y＋60＝0.

故所求两直线方程分别为

l1：y＝0，l2：y＝5 或

l1：5x－12y

－5＝0，l2：5x－12y＋60＝0.

变式训练：

4－1.已知正方形的中心为

G(－1,0)，一边所在直线的方程

为

x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线方程．

解：正方形的中心

G(－1,0)到四边距离均为

|－1－5|6＝. 1012＋32设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为

|－1＋C1|6x＋3y＋C1＝0.则＝，即|C1－1|＝6. 1010

解得

C1＝－5 或

C1＝7. 故与已知边平行的直线方程为

x＋3y＋7＝0. 设正方形另一组对边所在直线方程为

3x－y＋C2＝0，

|3×－1＋C2|6则＝，即|C2－3|＝6. 1010

解得

C2＝9 或

C2＝－3. 所以正方形另两边所在直线的方程为

3x－y＋9＝0 和

3x－y－3＝0. 综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为

x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.

六、作业

1.已知直线方程为

Ax＋By＋C＝0，直线在

x 轴上的截距为

a，在

y 轴上的截距为

b，直线的斜率为

k，坐标原点到直线的距离为

p，则有b2＝p2(1＋k2)

2：已知点

P(2，－1)，求：

(1)过

P 点与原点距离为

2 的直线

l 的方程；

(2)过

P 点与原点距离最长的直线

l 的方程并求出最大距离；

(3)是否存在过

P 点且与原点距离为

6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．

七、教学反思