复习参考题板书设计

空间几何体

教学目标：使学生掌握空间几何体的基本概念，基本公式。

教学重点：1.空间几何体的基本概念基本公式

2.直观图的有关计算

3.几何体体积的计算

4.旋转体的轴截面与侧面展开图的应用

5.球的内接多面体的有关计算

教学难点：1.体积的计算

2.球的内接多面体

【知识点】

几何体的认知：柱、锥、台、球

1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．

特征：①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；

②两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；

③过不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边行．

2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥

特征：①有一个面是多边形，其余各面是有一个公共点的三角形；

②若用平行于底面的平面截棱锥，则截面和底面相似，其面积比等于截得得棱锥的高与已知棱锥的高的平方比．截得的棱锥与圆棱锥的体积比等于截得得棱锥的高与已知棱锥的高的立方比。

3．棱台：底面水平放置的棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫棱台．

性质：①各侧棱相等且交于一点，各侧面都是全等的等腰梯形；

②两底面以及平行于底面的截面都是相似多边形；

③上下底面中心的连线是棱台的一条高．

4．圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．

性质：①平行于底面的截面都是圆；

②截面分别为全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；

r下-r上r360．

③圆锥侧面展开图的扇形圆心角360，圆台侧面展开图的扇形圆心角ll5．球:以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆面旋转一周所形成的几何体叫球．

性质：①用任意平面截球的截面都是一个面，过球心的截面所得到的圆的直径最大；

②球心和截面圆心的连线垂直于截面；

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③球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r面积体积的计算：

（1）多面体的面积、体积：

R2d2．

表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表示高，h′表示斜高，l表示侧棱长．

名称

棱柱

棱柱

直棱柱

棱锥

棱锥

正棱锥

棱台

棱台

侧面积S侧

直截面周长×l

底面周长×l

各侧面积之和

全面积S全

体积V

S侧+ 2S底

S底h

1S底h

3S侧+S底

1底面周长×侧面三角形的高

2各侧面积之和

S侧+1h(S上底S下底S上底S下底)

3S上底S下底

（2）旋转体的面积、体积

l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径；

r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径．

名称

圆柱

圆锥

圆台

球

S侧

2rl

2rl2r2

rl

rlr2

12rh

3(r1r2)l

(r1r2)l(r12r22)

1h(r12r1r2r22)

3S全

V

S4R2

r2h

4VR3

3题型一

直观图

1、如右图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是（

）

y22

y2y2y22

1o1x

o1xo1xox

A

B

C

D

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2、下图1是AOB用斜二测画法画出的直观图，则AOB的面积是

3、如图2所示，等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB2，下底AB3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画的直观图A'B'C'D'的面积为

y'2

yDECA'B'3O'1.5x'

AoBx图1（第2题）

图2（第3题）

题型二

体积的计算

例1

如图所示，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8，若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC、BC、A1C1、

B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？答：6

练1

两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（B）

A．1:2:3

例

2．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D-ABC的体积为（D

）

B．1:7:19

C．3:4:5

D．1:9:27 a3a3

A.

B.

612C.2333a

a

D.1212直接法：

割补法：

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练习2

如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD3是边长为3的正方形，EF//AB,EF,且EF与平面2ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（

）

9

Ｂ

5

215Ｃ

6

Ｄ

2A

EDAFCB来源学。科。网答案：

D

解析：

过点E,F作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，131315V23232

34222

例3.直三棱柱ABCA1B1C1中，各侧棱和底面的边长均为a，点D是CC1上任意一点，连接A1B,BD,A1D,AD，则三棱锥AA1BD的体积为（B）

等积法

A．

练习3正方体ABCDA1B1C1D1

中，O是上底面ABCD中心，若正方体的棱长为a，

则三棱锥OAB1D1的体积为_____________

13a

6B．33a

12C．33a

6D．13a

12答案：13a

6

题型三

旋转体的轴截面与侧面展开图

例1（1）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（A）A．

（2）若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的（C）倍．

A．2

例2、有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁些在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.1cm）

解析：把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD，如图所示．

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[来源:Zxxk.Com]12

2B．14

4C．12

D．14

2B．3

C．2

D．5

由题意知BC5cm,AB8cm,点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．

AC52(8)225.6(cm)

答：铁丝的最短长度约为25.6cm．

说明：教学是可分步解决：先研究绕1圈时最短长度是多少，绕2圈时最短长度是多少，最后研究绕4圈时最短长度是多少．

来源学科网

练习1：（1）若圆锥的表面积为a平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的

直径为_______________

来源:Zxxk.Com]答案：23a设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由l2r得l2r，

322

而S圆锥表rr2ra即3ra,ra3a23a，即直径为。

333（2）

圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为（

）

A

7

Ｂ

6

Ｃ

5

Ｄ

3

答案： A

解析：

S侧面积(r3r)l84,r7

例3已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？

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练习3

（如图）在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，

求圆柱的表面积. 答案:25（2+1）解析：S表面S圆台底面S圆台侧面S圆锥侧面

题型四

多面体的外接球

预备

用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（B）

8A．

3

82B．3

73C．82

32D．3

例1

设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（B）

A．a

22B．a

C．112a

3D．5a2

例2

已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是（A）

A．16

练习：

1.

一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（A）

A．3

B．33

C．4

D．6

B．20

C．24

D．32

2.

正四棱锥PABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果VPABCDA．4

B．8

16，则球O的表面积是（D）

3C．12

D．16

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