3.4 生活中的优化问题举例教学目标设计

生活中的优化问题举例

教学目标 知识与技能

1.体会导数在解决实际问题中的作用，能解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，

2.形成求解优化问题的思路和方法。

过程与方法

1.通过逐步形成用到导数知识分析问题和解决问题，进一步培养学生发散思维能力。

2.提高将实际问题转化为数学问题的能力。 情感、态度、价值观

培养学生用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题地积极态度

教学重点/难点 教学重点

利用导数解决生活中的一些优化问题。

教学难点

理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。

教学用具 教学过程设计

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题. 1、知识回顾

如何求函数的极值和最值？（抽学生起来回答）

求函数极值的一般步骤：

求函数最值的一般步骤：

2、新知学习

例1 海报版面尺寸的设计

学校举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。让你设计一张如图所示的竖向张贴海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

【分析】先建立目标函数，然后利用导数求最值. 【规范解答】设版心的高为xdm，则版心的宽为此时四周空白面积为

因此，x=16是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

【引申思考】

在本题解法中，“【生】学生讨论回答

【师】一个函数在某个区间上若只有一个极值，则该极值即为这个区间上的最值。在实际问题中，由于常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大是函数的极小值点，也是最小值点。”为什么？

（小）值在的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。

【一题多解】对于本题的最值你是否还有别的解法？

【探究解答】

由解法一可得：

例2 某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件, 如果降低价格,销售量增加,且每星期多卖出的商品数与单价的降低值

x (0≤x≤30)的平方成正比,已知单价降低2元时,一星期将多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? 解: (1)由已知商品降价x元, 则多卖出kx2件,又降低2元时,多卖出24件, 则 24 = k.22, ∴ k=6

记利润为f(x), 则f(x)(30x9)(432kx2)

∴f(x)6x3126x2432x9072,x[0,30] (2)f'(x)18x2252x43218(x2)(x12)令

f'(x)0，则x2

或

12

当x变化时,f'(x)、f(x)变化情况如下：

（0,2）

-

2 0 极小值

（2,12）

+

12 0 极大值

（12,30）

-

x

f'(x)

f(x)

∵ f(0)=9072, f(12)=11664 ∴ x=12 时, f(12)为极大值, 同时也是最大值. 答：定价为30-12=18元，能使一个星期的商品销售利润最大. 练习：

在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再沿虚线折起(如图),做成一个无盖的铁皮箱.箱底边长为多少时, 箱子容积最大? 最大容积是多少?

【规范解答】

解法一：设箱底边长为xcm，则箱高得箱子容积

由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值

答：当x=1000px时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3 解法二：

设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积

（后面同解法一，略）

由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．

【反思提高】

实事上，可导函数

在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值

课堂小结：解决优化问题的的步骤是怎样的？

列出函数解析式并确定函数定义域是关键

【生】学生讨论回答

作业:

P104 习题3.4 A组 2,6