3.1.3 导数的几何意义课堂实录及点评

科目

教师

数学

刘元禄

课题

时间

1.曲线的切线定义

§1.1.3导数的几何意义

2018-5-10 2使学生掌握函数yf(x)在xx0处的导数f/x0的几何意义就是函数yf(x)的图像在xx0处的切线的斜率，即：

知识与技

能

教学目标

f/x0limx0fx0xf(x0)

x3利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”，“以直代曲”的数学思想方法。

以简单对象刻画复杂的对象

过程与方法

情感、态度与价值观

通过让学生在前后知识的迁移中观察、探索、讨论、解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的

导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。

导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法

发现、理解及应用导数的几何意义

在学习时多从生活中的实例，借助于图形直观帮助对概念的理解。

1课时

教法

启发式

教学手段

多媒体辅助教学

设计意图

引导学生回忆本节课的旧知识，为下面探究导数的几何意义做准备。

教材重点

分析

难点

学法引导

课时安排

教

一．复习回顾

与

由导数的定义可知,求函数y=f(x)在x=x0处的导数的基本步骤学

是: 过

程

y 设

B 计

y

A x

x

yfx0xf(x0)平均变化率；



xx

fx0xf(x0)瞬时变化率. f(x)lim

0x0x

1

二．问题设置

初中平面几何中如图：判断直线l1是否为圆的切线？

直线

l2呢？

圆的切线定义：

如果直线与圆有

唯一公共点，则

称直线与圆相

切，这条直线叫

圆的切线。

l1

用运动的观点解

l2

释圆的切线：让

圆的割线运动到

曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当确定的位置（即

Pn(xn,f(xn))(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点直线与圆只有唯

一一个交点处）教

P(x0,f(x0))时，割线PP就形成了圆的切n的变化趋势是什么？

与

线。

学

过

程

设

计

用运动的观点研究一般曲线的切线。

图3.1-2

来源学科网ZXXK]

Pn（

xx,f(xx)）

00

y

来源学科网y(x0,f(x0))

P

x

M

O

x

2

曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,f(x0))是曲线C上的任意一点, Pn(x0+Δx, f(x0+Δx) )为P邻近一点,PPn为C的割线.

切线的定义：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置PT，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

那么曲线在点P处的切线PT的斜率为

当Δx→0时,割线PPn的斜率

函数yf(x)在xx0处的导数f/观察曲线某点处的割线和切线，让学生感知当x0，割线的变化趋势。

x0的几何意义就是函数（数形结合），即：

yf(x)的图像在xx0处的切线的斜率。klimx0fx0xf(x0)f(x0)

x切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数. 如图：直线l1是曲线C的切线吗? 直线l2呢?

y

用逼近的方法，将割线趋近确定的位置定义成切线适用于任何曲线，更加直观的反映了切线的本质。

O x

通过将曲线一点处的局部“放大、x0平均变化率 瞬时变化率（导数）

放大、再放大”的直观方法，引

导学生理解以直代曲思想是指某x0割线的斜率 切线的斜率

点附近一个很小的研究区域内，了解以直代曲思想

曲线与切线的变

化趋势基本一

PPP致，故可由曲线

上某点处的切线

近似代替这一点

附近的曲线，形

象而逼真地再现根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以用在点P“以直代曲”思处的切线近似代替，

这是微积分中重要的思想方法想。

l1

l2

------以直代曲。

3

三．知识应用

例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.

练习1:如图已知曲线

y138x上一点P(2,)33

,求:

(1)点P处的切线的斜率;

(2)点P处的切线方程.

练习2

归纳:求切线方程的步骤

（1）求出函数在点x0处的变化率

，得到曲线

在点(x0,f(x0))的切线的斜率。

（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即

yf(x0)f(x0)(xx0).

【例2】

拋物线y＝x2在点P处的切线与直线4x－y＋2＝0平行，求P点的坐标及切线方程．

【解题流程】

设切点坐标P（x0，y0）→求导函数y′＝f′（x）→由斜率k＝4，求x0→求P点坐标（x0，y0）

→求切线方程

以简单对象刻画复杂的对象时，我们考虑曲线在某点附近的变化趋势可以由切线的变化趋势近似代替，通过形得出上升或下降，通过数（即导数）判断上升或下降趋势的快慢。

例3] 观察跳水运动高度随时间变化的函数

的图象，请描述曲线在t0,t1,t2附近的变化情况。以及t1,t2附近的增（减）快慢情况。

4

深刻地理解导数的几何意义，达到数与形的结合，处理这类问题才能游刃有余。

四．练习1-6题

五．归纳小结

1. 曲线的切线定义

2．函数yf(x)在xx0处的导数f/x0的几何意义就是函数yf(x)的图像在xx0处的切线的斜率。（数形结合），即：

f/x0limx0fx0xf(x0)＝切线的斜率

x3．

利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”，“以直代曲”的数学思想方法。

以简单对象刻画复杂的对象

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