习题3.2教学设计第一课时

适用学科

适用区域

知识点

高中数学

人教版区域

适用年级

课时时长（分钟）

高二

2课时

直线方程的基本概念、倾斜角、斜率、两直线平行、垂直的判定、点到直线的距离

教学目标

掌握直线方程的基本概念、倾斜角、斜率，并会求解倾斜角、斜率；

掌握两直线平行、垂直的判定；

掌握点到直线的距离．

教学重点

教学难点

【教学建议】

直线方程的求解．

两直线的位置关系．

解析几何是17世界数学发展的重大成果之一，其本质是使用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要思想．直线与方程是平面解析几何的第一章，研究的是平面上最简单的图形---直线，运用的方法主要是坐标法，它是研究解析几何最基本的方法．坐标法的基本特点是，首先用代数语言描述几何元素及其关系，将几何问题代数化；解决代数问题，得到结果；分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题．

对于直线与方程，学生的学习困难主要在几何元素与代数关系之间的相互转化,举例如下：

几何元素及其表示

点A

直线l

点A在直线l上

代数表示

A(a,b)

l:AxByC0

AaBbc0

点A的坐标是方程组

直线l1

和l2

的交点是A

A1xB1yC0

的解

A2xB2yC0

【知识导图】

教学过程

一、导入

【教学建议】

导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。

导入的方法很多，仅举两种方法：

①

情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；

②

温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。

提供一个教学设计供讲师参考：

由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形. (1)斜率是1，经过点A(1,8)；

(2)在x轴和y轴上的截距分别是7,7；

(3)经过两点P1(1,6)、P2(2,9)；

(4)y

轴上的截距是7，倾斜角是45.

由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y8x1、xy1、77y6x1、yx7，教师利用图象显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.9621原来它们的方程化简后均可统一写成：xy70.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程.

二、知识讲解

【教学建议】在学习倾斜角之前，教科书提出思考问题“对于平面指教坐标系内的一条直线，它的位置都有哪些因素确定呢？”在平面直角坐标系结合具体图形，学生容易了解到确定直线位置的几何要素可以是一个点与直线的方向.两点当然可以确定一条直线，因为两点就是确定了直线的方向，这与上述几何要素不相悖. 直线一般式方程

由于任何一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示；同时，任何一个关于x,y的二元一次方程都可以表示为一条直线.我们把关于x,y的二元一次方程（A,B不同时为0

）叫做直线的一般式方程，简称一般式. AxByC0斜率：ktany2y1(90) x2x1两条直线平行：l1l2k1k2

两条直线垂直：l1l2k1k21

考点2直线方程

方程

局限

除xx0外

除xx0外

各常数的几何意义

形

式

点斜式

斜截式

yy1k(xx1)

ykxb

(x1,y1)是直线上一个定点，k是斜率

k是斜率，b是y轴上的截距

两点式

yy1xx1

y2y1x2x1除xx0和(x1,y1)、(x2,y2)是直线上两个定点

yy0外

除xx0、截距式

xy1

abyy0及ykx外

a是x轴上的非零截距，b是y轴上的非零截距

一般式

AxByC0

当B0时，无

AC是斜率，是y轴BB上的截距

A1xB1yC0（1）交点A的坐标是方程组

的解

AxByC022（2）两点间的距离公式：d(x1x2)2(y1y2)2 （3）任意一点P(x0,y0)到直线方程Ax的距离公式：dByC0Ax0By0CAB22

和A2xB2yC0的距离公式：d（4）任意两条直线A1xB1yC0C1C2AB22

类型一

直线的一般式

已知A(2,2)和直线l:3x4y200求：

（1）过点A和直线l平行的直线方程；

（2）过点A和直线l垂直的直线方程. 【解析】（1）将与l平行的直线方程设为l:3x4yC10，又过A(2,2)，

所以3242C10，所以C114.所求直线方程为：l:3x4y140.

（2）将与l垂直的直线方程设为4x3yC20，又过A(2,2)，

所以

3242C20，所以C22,所求直线方程为：4x3y20．

【总结与反思】此例是一般式方程的直接运用,要求学生熟练掌握．

类型二 直线的倾斜角

已知A(3,2)，B(4,1),C(0,1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角．

【解析】直线AB的斜率k110,所以它的倾斜角是锐角; 71直线BC的斜率k20,所以它的倾斜角是钝角; 2直线CA的斜率k110,所以它的倾斜角是锐角.. 【总结与反思】引导学生明确已知两点坐标,由斜率公式代入即可求得k的值; 而当ktan0时,倾斜角是钝角; 而当ktan0时,倾斜角是锐角; 而当ktan0时,倾斜角是0. 类型三 直线的斜率公式

求经过点A(2,0)，B(5,3)的直线的斜率和倾斜角.

【解析】kAB301，即tan1，又∵0180，∴135. 5(2)∴

该直线的斜率是1，倾斜角是135. 【总结与反思】此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角. 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围为0180，熟记斜率公式ky2y1，该公x2x1式与两点顺序无关．已知两点坐标(x1x2)，根据该公式可以求出经过两点的直线斜率，而x1x2，y1y2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90. 类型四 两直线平行与垂直相关问题

已知P(3,2)，Q(3,4)及直线axy30.若此直线分别与PQ的延长线、QP的延长线相交，试分别求出a的取值范围.

【解析】直线l:axy30是过定点A(0,3)的直线系，斜率为参变数a，易知PQ、175AQ、AP

、l的斜率分别为：kPQ，kAQ，kAP，kla. 33371若l与PQ延长线相交，由图,可知kPQklkAQ，解得a；

3375若l与PQ相交，则klkAQ或klkAP，解得a或a；

3315若l与QP的延长线相交，则kPQklkAP，解得-a. 33【反思与总结】通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据. 4，求直线的点斜式和一般式方程.

344【解析】经过点A6,4且斜率为的直线方程的点斜式方程为y4(x6).化33已知直线经过点A6,4，斜率为成一般式，得4x3y120.

四

、课堂运用

1.过点(1,3)且垂直于直线x2y30的直线方程为(

)

A．2xy10

B．2xy50

C．x2y50

D．x2y70. 2.如果直线ax2y20与直线3xy20平行，则a＝(

) A．－3

B．－6

C．32

D. .

233. 直线经过A(2,1)，B(1,m2)(mR)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是(

) A．0

B．0C．04或2

4

D. 42或2

4. 设点A(1,0)，B(1,0)，直线2xyb0与线段AB相交，则b的取值范围是_______.